Không gian mẫu: \(10!\)

TH1: 2 học sinh lớp A đứng liền nhau: xếp 2 học sinh lớp A cạnh nhau có \(2!\) cách, coi 2 học sinh lớp A là 1 bạn, hoán vị với 8 người còn lại có \(9!\) cách \(\Rightarrow2!.9!\) cách

TH2: giữa 2 học sinh lớp A là k học sinh lớp C, với k={1;2;3;4}:

 - Xếp 2 học sinh lớp A có 2 cách.

- Chọn k bạn lớp C từ 4 bạn để xếp vào giữa 2 bạn lớp A có \(A_4^k\) cách. Coi nhóm này như 1 bạn.

- Còn lại 4 bạn lớp B và \(4-k\) bạn lớp C (tổng \(8-k\) bạn), hoán vị với nhóm ở trên, có \(\left(9-k\right)!\) cách

\(\Rightarrow\sum\limits^4_{k=1}2.A_4^k.\left(9-k\right)!\) cách

Xác suất: \(P=\dfrac{2!.9!+\sum\limits^4_{k=1}2.A_4^k.\left(9-k\right)!}{10!}=\dfrac{1}{3}\)

\(\overrightarrow{CB}=\left(1;1\right)\), gọi M là trung điểm BC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{1}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)

Phương trình trung trực BC qua M và vuông góc BC có dạng:

\(1\left(x-\dfrac{1}{2}\right)+1\left(y+\dfrac{3}{2}\right)=0\Leftrightarrow x+y+1=0\)

Đường tròn (C) qua B, C sẽ có tâm I thuộc trung trực BC nên tọa độ I dạng: \(I\left(a;-a-1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BI}=\left(a-1;-a\right)\Rightarrow R=IB=\sqrt{\left(a-1\right)^2+\left(-a\right)^2}=\sqrt{2a^2-2a+1}\)

(C) tiếp xúc trục hoành \(\Rightarrow d\left(I;Ox\right)=R\)

\(\Rightarrow\left|y_I\right|=R\Leftrightarrow\left|-a-1\right|=\sqrt{\left(a-1\right)^2+a^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2=2a^2-2a+1\)

\(\Leftrightarrow a^2-4a=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=4\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(0;-1\right)\\I\left(4;-5\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}R=\left|y_I\right|=1\\R=\left|y_I\right|=5\end{matrix}\right.\)

Pt đường tròn: \(\left[{}\begin{matrix}x^2+\left(y+1\right)^2=1\\\left(x-4\right)^2+\left(y+5\right)^2=25\end{matrix}\right.\)

Nãy ghi nhầm 1 dấu nên sót 1 nghiệm

Tham khảo:

Để lập một số tự nhiên có 4 chữ số từ các số 0 đến 6 sao cho mỗi chữ số đều khác nhau và chữ số đứng đầu lớn hơn chữ số đứng cuối, ta thực hiện các bước sau:

1. Chọn chữ số đứng đầu: Có 6 cách chọn (từ 1 đến 6).
2. Chọn chữ số thứ hai: Có 6 cách chọn (từ 0 đến 6, loại trừ chữ số đã chọn ở bước 1).
3. Chọn chữ số thứ ba: Có 5 cách chọn (từ 0 đến 6, loại trừ 2 chữ số đã chọn ở bước 1 và bước 2).
4. Chọn chữ số cuối cùng: Chữ số cuối cùng phải lớn hơn chữ số đầu tiên, vì vậy chỉ có 3 cách chọn (từ 0 đến 2).

Tổng số cách lập số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau và chữ số đầu lớn hơn số đứng cuối là: \(6 \times 6 \times 5 \times 3 = 540\).

Tính xác suất lập số như vậy:
\[P = \frac{\text{Số cách lập số như vậy}}{\text{Tổng số cách lập}} = \frac{540}{7 \times 6 \times 6 \times 5} = \frac{540}{1260} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}\]

Vậy xác suất số được lập có 4 chữ số đôi một khác nhau và chữ số đứng đầu lớn hơn số đứng cuối là \( \frac{3}{7} \).

Không gian mẫu: \(A_7^4-A_6^3=720\)

Gọi số đó là \(\overline{abcd}\)

- Với \(a=1\Rightarrow\) d có 1 cách chọn (b=0), bộ bc có \(A_5^2\) cách

- Với \(a=2\Rightarrow\) d có 2 cách chọn (1;0), bộ bc \(A_5^2\) cách

Theo quy luật đó, đến \(a=6\Rightarrow d\) có 5 cách chọn, bộ bc vẫn có \(A_5^2\) cách

Nên số số thỏa mãn là: \(A_5^2.\left(1+2+3+4+5\right)=300\) số

Xác suất: \(P=\dfrac{300}{720}=\dfrac{5}{12}\)

a, đúng \(c=3\Rightarrow2c=6\)

\(b,\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1\Leftrightarrow thay.A\left(-5;0\right)\) ta dược

\(\dfrac{25}{a^2}-\dfrac{0}{b^2}=1\Leftrightarrow a^2=25\Rightarrow a=5\) \(\Rightarrow S\) 

\(c,c^2=a^2+b^2\Rightarrow b^2=c^2-a^2=9-25=16?\Rightarrow S\) (đề có sai không nhỉ) 

d, Thay điểm B vào pt ta thấy không t/m =>S

Chọn 4 chữ số chẵn có 1 cách, chọn 2 chữ số lẻ có \(C_4^2\) cách

Hoán vị 6 chữ số có \(6!-5!\) cách

Hoán vị 6 chữ số sao cho 2 chữ số lẻ cạnh nhau: hoán vị 2 chữ số lẻ có 2 cách, coi 2 số lẻ là 1 số, hoán vị với 4 chữ số chẵn có có \(5!-4!\) cách

\(\Rightarrow C_4^2\left(6!-5!-2.\left(5!-4!\right)\right)\) số

Hướng dẫn giải:

- Viết pt đường tròn (I) đã biết tâm và bán kính

- Theo 1 tính chất rất cơ bản của đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có \(IA\perp HK\) (chứng minh dễ dàng bằng việc kẻ 1 tiếp tuyến qua A)

Từ đó viết được phương trình đường thẳng IA, qua I (đã biết tọa độ) và nhận \(\overrightarrow{HK}\) là vtpt

\(\Rightarrow\)Tọa độ A là giao của IA và đường tròn (I), loại 1 nghiệm ko thỏa mãn

=> Viết pt AB (qua A và K) => tọa độ B là giao của AB và (I)

- Viết pt AC qua A và H => tọa độ C

=> bán kính đường tròn ngoại tiếp BCHK =1/2BC

Cảm ơn thầy ạ!

Gọi số cần lập dạng \(\overline{abcd}\) \(\Rightarrow a\ge3\)

TH1: \(a=3\) \(\Rightarrow b\ge2\)

- Với \(b=2\Rightarrow c\ge4\)

+ Với \(c=4\Rightarrow d\) có 3 cách chọn (5,6,7)

+ Với \(c>4\Rightarrow c\) có 3 cách chọn (5,6,7), d có 5 cách chọn (khác a;b;c)

- Với \(b>2\Rightarrow b\) có 4 cách chọn

\(\Rightarrow\) bộ cd có \(A_6^2\) cách chọn

TH2: \(a>3\Rightarrow a\) có 4 cách chọn

Chọn bcd tùy ý có \(A_7^3\) cách

\(\Rightarrow A=3+3.5+4.A_6^2+4.A_7^3\) số lớn hơn 3242

Loại trừ số có toàn chữ số lẻ:  có 4 chữ số lẻ là 1,3,5,7

- Với \(a=3\) \(\Rightarrow b\) có 2 cách chọn (5, 7), cd có \(2!=2\) cách

- Với \(a=\left\{5;7\right\}\) có 2 cách \(\Rightarrow\) bộ bcd có \(3!\) cách

\(\Rightarrow B=2.2+2.3!\) số lớn hơn 3242 toàn chứa số lẻ

Lấy A-B sẽ ra kết quả

a: Sai vì chỉ có 6 đề tài lịch sử thôi

b: Số cách chọn 3 đề tài thiên nhiên hoặc con người là:

\(C^3_9=84\left(cách\right)\)

=>Đúng

c: TH1: Chọn 1 đề tài lịch sử, 1 đề tài về thiên nhiên

=>Có \(6\cdot5=30\left(cách\right)\)

TH2: Chọn 1 đề tài lịch sử, 1 đề tài về con người

=>Có \(6\cdot4=24\left(cách\right)\)

TH3: Chọn 1 đề tài lịch sử, 1 đề tài về văn hóa

=>Có \(6\cdot3=18\left(cách\right)\)

TH4: Chọn 1 đề tài thiên nhiên, 1 đề tài con người

=>Có \(5\cdot4=20\left(cách\right)\)

TH5: Chọn 1 đề tài thiên nhiên, 1 đề tài văn hóa

=>Có \(5\cdot3=15\left(cách\right)\)

TH6: Chọn 1 đề tài con người, 1 đề tài văn hóa

=>Có \(4\cdot3=12\left(cách\right)\)

Tổng số cách là:

30+24+18+20+15+12=119 cách

=>Sai

d: Nếu chọn 3 đề tài bất kì thì sẽ có \(C^3_{18}\left(cách\right)\)

Nếu chọn 3 đề tài bất kì mà không có bất cứ đề tài nào là thiên người hoặc con người thì sẽ có \(C^3_9\left(cách\right)\)

=>Số cách chọn 3 đề tài bất kì mà trong đó phải có ít nhất là 1 trong 2 đề tài thiên nhiên hoặc con người là \(C^3_{18}-C^3_9=732\left(cách\right)\)

=>Đúng

a. Có 6 cách chọn 1 đề tài lịch sử

b. Có \(C_9^3=84\) cách chọn 3 đề tài về thiên nhiên con người.

c. Chọn 2 đề tài thuộc 2 lĩnh vực khác nhau có: \(6.5+6.4+6.3+5.4+5.3+4.3=119\) cách

d. Chọn 3 đề tài thỏa mãn có: \(C_{18}^3-C_9^3=732\) cách