K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TN
0
NP
0
DH
0
TD
Thầy Đức Anh
Manager
VIP
17 tháng 12 2020
với các số thực dương a,b,c áp dụng BDT Cauchi ta có:
\(\frac{a^4b}{a^2+1}=a^2b-\frac{a^2b}{a^2+1}\geq a^2b-\frac{a^2b}{2a}=a^2b-\frac{ab}{2}\)
Chứng minh tương tự ta cũng có:
\(\frac{b^4c}{b^2+1}\ge b^2c-\frac{bc}{2},\frac{c^4a}{c^2+1}\ge c^2a-\frac{ca}{2}\)
ta suy ra:
\(\frac{a^4b}{a^2+1}+\frac{b^4c}{b^2+1}+\frac{c^4a}{c^2+1}\ge a^2b+b^2c+c^2a-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)
áp dụng bdt Cauchy lần nữa, ta có:
\(a^2b+a^2b+b^2c\ge3ab\sqrt[3]{abc}=3ab\)
tương tự ta có:
\(b^2c+b^2c+c^2a\ge3bc\\ c^2a+c^2a+a^2b\ge3ca\)
Vậy:
\(\frac{a^4b}{a^2+1}+\frac{b^4c}{b^2+1}+\frac{c^4a}{c^2+1}\ge a^2b+b^2c+c^2a-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\ge\frac{1}{2}\left(ab+bc+ca\right)\\ \ge\frac{3}{2}\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=\frac{3}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi\(a=b=c=1\)
VV
0