Ta chứng minh: \(2\left(a^2-ab+b^2\right)^2\ge b^4+a^4\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)^2\ge0\)( Luôn đúng \(\forall a;b\))

Tương tự có: \(2\left(b^2-bc+c^2\right)^2\ge b^4+c^4\left(2\right)\)

Và: \(2\left(c^2-ca+a^2\right)^2\ge a^4+c^4\left(3\right)\)

Ta nhân các vế trên ta được: \(8\left(a^2-ab+b^2\right)^2\left(b^2-bc+c^2\right)^2\left(c^2-ca+a^2\right)^2\ge\left(a^4+b^4\right)\left(b^4+c^4\right)\left(c^4+a^4\right)=8\)

Hay: \(\left(a^2-ab+b^2\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\left(c^2-ca+a^2\right)\ge1\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Trâu bò:

Giả sử c = min{a,b,c}

Đặt a =x +c; b = y +c;c=c thì x,y >= 0

C/m: \(8\left[\left(a^2-ab+b^2\right)\left(b^2-bc+c^2\right)\left(c^2-ca+a^2\right)\right]^2\ge\left(a^4+b^4\right)\left(b^4+c^4\right)\left(c^4+a^4\right)\)

Xét hiệu hai vế thu được:

\(c*(12*x^3*y^8-8*x^4*y^7+16*x^5*y^6+16*x^6*y^5-8*x^7*y^4+12*x^8*y^3)+c^2*(18*x^2*y^8-16*x^3*y^7+60*x^4*y^6+60*x^6*y^4-16*x^7*y^3+18*x^8*y^2)+c^3*(12*x*y^8+16*x^2*y^7+88*x^4*y^5+88*x^5*y^4+16*x^7*y^2+12*x^8*y)+c^4*(6*y^8+16*x*y^7+32*x^2*y^6-32*x^3*y^5+242*x^4*y^4-32*x^5*y^3+32*x^6*y^2+16*x^7*y+6*x^8)+7*x^4*y^8+c^5*(16*y^7+16*x*y^6+88*x^3*y^4+88*x^4*y^3+16*x^6*y+16*x^7)-16*x^5*y^7+c^6*(24*y^6-16*x*y^5+60*x^2*y^4+60*x^4*y^2-16*x^5*y+24*x^6)+24*x^6*y^6+c^7*(16*y^5-8*x*y^4+16*x^2*y^3+16*x^3*y^2-8*x^4*y+16*x^5)-16*x^7*y^5+c^8*(8*y^4-16*x*y^3+24*x^2*y^2-16*x^3*y+8*x^4)+7*x^8*y^4\)Dấu " * " là nhân.

Dễ thấy nó đúng -> qed

cho mihf hỏi tam giác gì nội tiếp đường tròn O vậy

mình nghĩ đề cho bổ sung là cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn ( O ) vì mình đã từng làm rồi

lời giải :

A B C O M D

a) vì MD = MB nên \(\Delta MBD\)cân tại M

\(\widehat{BMD}=\widehat{BCA}=60^o\)( cùng chắn cung AB )

\(\Rightarrow\)\(\Delta MBD\)đều

b) Xét \(\Delta MBC\)và \(\Delta BDA\)có :

MB = BD ; BC = AB ; \(\widehat{MBC}=\widehat{DBA}\)( cùng cộng góc DBC bằng 60 độ )

\(\Rightarrow\Delta MBC=\Delta DBA\left(c.g.c\right)\)suy ra MC = AD

c) Mà MB = MD ( câu a )

nên MC + MB = MD + AD = MA

d) Ta có : MA là dây cung của ( O ; R ) \(\Rightarrow MA\le2R\)

\(\Rightarrow MB+MC+MA=2MA\le4R\)( không đổi )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)MA là đường kính hay M là điểm chính giữa của cung BC

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=10\\x+y=4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=10\\\left(x+y\right)^2=16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\xy=3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1;y=3\\x=3;y=1\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=10\\x+y=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=10\\x^2+2xy+y^2=16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=10\\2xy+10=16\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=10\\2xy=6\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\xy=3\end{cases}}\)

\(\Rightarrow k^2-4k+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(k-1\right)\left(k-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}k=1\\k=3\end{cases}}\)

Vậy (x,y) = (1,3) và hoán vị

Bài này dài quá nên xin trả lời ngắn gọn là p thuộc {2;7;11}

Tham khảo  tại :

https://julielltv.wordpress.com/2013/09/02/bai-toan-so-chinh-phuong-phuong-trinh-nghiem-nguyen/
_Minh ngụy_

\(\hept{\begin{cases}x+y+\frac{1}{y}=\frac{9}{x}\left(1\right)\\x+y-\frac{4}{x}=\frac{4y}{x^2}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(Đkxđ:\hept{\begin{cases}x\ne0\\y\ne0\end{cases}}\)

Từ \(\left(2\right)\Rightarrow x+y-\frac{4}{x}-\frac{4y}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow x+y-\frac{4}{x^2}\left(x+y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(1-\frac{4}{x^2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{4}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow x\ne\pm2\)

• Nếu \(x=2\) Thay vào \(\left(1\right)\) ta được:

\(2+y+\frac{1}{y}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow2y^2+2=5y\)

\(\Leftrightarrow2y^2-5y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2y-1\right)\left(y-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=2\left(tm\right)\\y=\frac{1}{2}\left(tm\right)\end{cases}}\)

• Nếu \(x=-2\) thay vào \(\left(1\right)\) ta được:

\(-2+y+\frac{1}{y}=\frac{9}{-2}\Leftrightarrow2y^2+2=-5y\)

\(\Leftrightarrow2y^2+5y+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2y+1\right)\left(y+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=-\frac{1}{2}\left(tm\right)\\y=-2\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy \(n_0\left(x,y\right)\) của hệ là: \(\left(\frac{1}{2};2\right);\left(2;2\right);\left(-\frac{1}{2};-2\right);\left(-2;-2\right)\)

Ta có: \(P=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z-1}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng BĐT Bunhiacôpski ta có:

\(\left(1+x+1+y+1+z\right)\left(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\right)\ge\left(1+1+1\right)^2=3^2=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{3+x+y+z}=\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow A\le3-\frac{9}{4}=\frac{12}{4}-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow Max_A=\frac{3}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

\(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

Thay \(x+y+z=1\)vào biểu thức 

\(\Rightarrow P=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\)

Áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{2x+y+z}=\frac{x}{x+y+x+z}\le\frac{x}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)\\\frac{y}{x+2y+z}=\frac{y}{x+y+y+z}\le\frac{y}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\\\frac{z}{x+y+2z}=\frac{z}{x+z+y+z}\le\frac{z}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}\right)+\frac{y}{4}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)\(+\frac{z}{4}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x}{4\left(x+y\right)}+\frac{x}{4\left(x+z\right)}+\frac{y}{4\left(x+y\right)}+\frac{y}{4\left(y+z\right)}+\frac{z}{4\left(x+z\right)}\)\(+\frac{z}{4\left(y+z\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x}{4\left(x+y\right)}+\frac{y}{4\left(x+y\right)}+\frac{x}{4\left(x+z\right)}+\frac{z}{4\left(x+z\right)}+\frac{y}{4\left(y+z\right)}\)\(+\frac{z}{4\left(y+z\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{x+y}{4\left(x+y\right)}+\frac{x+z}{4\left(x+z\right)}+\frac{y+z}{4\left(y+z\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow P\le\frac{3}{4}\)

Vậy \(P_{max}=\frac{3}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!

1)Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, K là giao điểm thứ hai của AH với đường tròn (O). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt BC ở I. Chứng minh rằng IK là tiếp tuyến của đường tròn (O)

 ~~~~~~~~~ Bài làm ~~~~~~~~~

A B C O I K H Q D

Ta có: \(\widehat{HBD}=\widehat{DAC}\) (Cùng phụ với \(\widehat{ACB}\))

\(\widehat{KBD}=\widehat{DAC}\)( Góc nối tiếp cùng chắn cung \(KC\))

\(\Rightarrow\widehat{HBD}=\widehat{KBD}\)

Ta lại có: \(BD\perp HK\)

\(\Rightarrow BD\) là đường trung trực của \(HK\)

\(\Rightarrow\Delta IHK\) cân tại \(I\)

\(\Rightarrow\widehat{BKD}=\widehat{BHD}=\widehat{AHQ}\)

Lại có:\(\widehat{DKO}=\widehat{HAO}\)( \(\Delta OKA\) cân tại \(O\))

Vì vậy: \(\widehat{DKO}+\widehat{BKD}=\widehat{HAO}+\widehat{AHQ}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{KIO}=90^0\)

\(\Rightarrow IK\)là tiếp tuyến của đường tròn \(\left(O\right)\)

(Hình vẽ chỉ mang tính chất minh họa cái hình vẽ gần cả tiếng đồng hồ :)) )

Ủa bạn ơi sao phụ nhau? Dòng đầu ấy

\(A=\frac{\frac{1}{2}a^2\left(\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+1\right)\left[\left(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c}\right)^2+\left(\sqrt[3]{b}-1\right)^2+\left(\sqrt[3]{c}-1\right)^2\right]}{2\left(a+2\right)\left(a+\sqrt[3]{bc}\right)}\ge0\)

\(\Sigma_{cyc}\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}=\Sigma_{cyc}A+\Sigma_{cyc}\frac{2\left(a-1\right)^2}{3\left(a+2\right)}+\frac{5}{6}\left(a+b+c\right)-1\ge\frac{5}{6}\left(a+b+c\right)-1=\frac{3}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số 

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\)\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\)\(\ge\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

Chứng minh rằng : \(\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow18\ge3\left(3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}\right)\)

\(\Leftrightarrow18\ge9+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}+3\sqrt[3]{ab}\)

\(\Leftrightarrow9\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+1\ge3\sqrt[3]{ab}\\b+c+1\ge3\sqrt[3]{bc}\\c+a+1\ge3\sqrt[3]{ca}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)+3\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\)

\(\Rightarrow9\ge3\sqrt[3]{ab}+3\sqrt[3]{bc}+3\sqrt[3]{ca}\left(đpcm\right)\)

Vì \(\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\)

Mà \(\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{9}{3+\sqrt[3]{bc}+\sqrt[3]{ca}+\sqrt[3]{ab}}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+\sqrt[3]{bc}}+\frac{b^2}{b+\sqrt[3]{ca}}+\frac{c^2}{c+\sqrt[3]{ab}}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!