a) ( 2x + 3 )( x - 2 ) = 9 

<=> 2x² - x - 6 - 9 = 0

<=> 2x² - x - 15 = 0

<=> 2x² + 5x - 6x - 15 = 0

<=> x( 2x + 5 ) - 3( 2x + 5 ) = 0

<=> ( 2x + 5 )( x - 3 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}2x+5=0\\x-3=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=-\frac{5}{2}\\x=3\end{cases}}\)

Vậy S = { -5/2 ; 3 }

b)  x³ + 5x + 6 = 0

Thử với x = -1 ta có 

(-1)³ + 5.(-1) + 6 = -1 - 5 + 6 = 0

Vậy -1 là nghiệm của phương trình . Theo hệ quả của định lí Bézuote thì phương trình trên chia hết cho ( x + 1 )

Thực hiện phép chia x³ + 5x + 6 cho x + 1 ta được x² - x + 6

Vậy ta phân tích được ( x + 1 )( x² - x + 6 ) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x^2-x+6=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\\x^2-x+6=0\left(1\right)\end{cases}}\)

Ta có : (1) = x² - x + 1/4 + 23/4 = ( x - 1/2 )² + 23/4 ≥ 23/4 > 0 ∀ x

=> (1) vô nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = -1

a, \(\left(2x+3\right)\left(x-2\right)=9\Leftrightarrow2x^2-4x+3x-6=9\)

\(\Leftrightarrow2x^2-x-15=0\Leftrightarrow\left(2x+5\right)\left(x-3\right)=0\)

\(x=-\frac{5}{2};3\)

b, \(x^3+5x+6=0\Leftrightarrow x=-1\)

c, 

Biến đổi giả thiết \(2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)=2ab\)

Mà ta có: \(2ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)nên \(2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)(*)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz: \(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)nên từ (*) suy ra \(\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

Đặt \(s=a+b>0\)thì \(s^2-s\le\frac{s^2}{2}\Leftrightarrow\frac{s^2}{2}-s\le0\Leftrightarrow s^2-2s\le0\Leftrightarrow s\left(s-2\right)\le0\)

Mà \(s>0\)nên \(s-2\le0\Rightarrow s\le2\)hay \(a+b\le2\)

\(F=\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{a}+2020\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{ab}+2020.\frac{4}{a+b}\)\(\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2ab}+\frac{8080}{a+b}\ge\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{a+b}\right)+\frac{8072}{a+b}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)^2}{2}.\frac{4}{a+b}.\frac{4}{a+b}}+\frac{8072}{2}=4042\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1

\(x^3+x-y^3-y\) 

=\(x^3-y^3+x-y\)

=\(\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+1\left(x-y\right)\)     

=\(\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+1\right)\)

Phân tích hỏ ?

x³ + x - y³ - y

= ( x³ - y³ ) + ( x - y )

= ( x - y )( x² + xy + y² ) + 1( x - y )

= ( x - y )( x² + xy + y² + 1 )

Gọi N, G lần lượt là giao điểm của AH, AK với BC.
Xét ∆ABN có BH là đường cao cũng là phân giác nên là tam giác cân do đó BH cũng là trung tuyến

=> HN = HA

Tương tự: AK = KG
∆ANG có HN = HA và AK = KG nên HK là đường trung bình của tam giác

=> HK // HG hay HK // BC (đpcm)

Bài 1:

a) \(\left(x+y\right)^2-y^2=x^2+2xy+y^2-y^2=x^2+2xy=x\left(x+2y\right)\)

b) Sửa đề: \(\left(x^2+y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2=\left(x^2-2xy+y^2\right)\left(x^2+2xy+y^2\right)\)

\(=\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)^2\)

c) \(x\left(x-3y\right)^2+y\left(y-3x\right)^2=x\left(x^2-6xy+9y^2\right)+y\left(y^2-6xy+9x^2\right)\)

\(=x^3-6x^2y+9xy^2+y^3-6xy^2+9x^2y\)

\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=\left(x+y\right)^3\)

Bài 2:

a) \(\left(a+b\right)^3+\left(a-b\right)^3=\left(a+b+a-b\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)^2\right]\)

\(=2a\left(a^2+2ab+b^2-a^2+b^2+a^2-2ab+b^2\right)\)

\(=2a\left(a^2+3b^2\right)\)

b) \(\left(a+b\right)^3-\left(a-b\right)^3=\left(a+b-a+b\right)\left[\left(a+b\right)^2+\left(a+b\right)\left(a-b\right)+\left(a-b\right)^2\right]\)

\(=2b\left(a^2+2ab+b^2+a^2-b^2+a^2-2ab+b^2\right)\)

\(=2b\left(b^2+3a^2\right)\)

Ta có : x⁴ + x² + 1

= x⁴ + x² + x² + 1 - x²

= (x² + 1)² - x²

= (x² + 1 - x)(x² + 1 + x)

x⁴ + x² + 1

= x⁴ + 2x² + 1 - x²

= ( x² + 1 )² - x²

= ( x² - x + 1 )( x² + x + 1 )