Áp dụng bất đẳng thức Mincopski

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)

Chứng minh rằng : \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+9\ge6\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge6\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz 

\(\Rightarrow x+y+z+\frac{9}{x+y+z}\ge2\sqrt{\frac{9\left(x+y+z\right)}{x+y+z}}=2\sqrt{9}=6\left(đpcm\right)\)

Vậy \(\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\)

Mà \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+9}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\ge\sqrt{6\left(x+y+z\right)}\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Chị xem cách giải của em tại:

Câu hỏi của Nhã Doanh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

(https://h o c 2 4 .vn/hoi-dap/question/680384.html). Do không biết ad đã fix lỗi không gửi được link \(\text{H}\)(h.vn) nên em phải đính kèm link-_-

a) Ta có ABAB và ACAC là tiếp tuyến tại AA và BB của (O)(O)

⇒AB⊥OB⇒AB⊥OB và AC⊥OCAC⊥OC

Xét AOB và ΔAOCAOB và ΔAOC có:

OB=OC(=R)OB=OC(=R)

ˆABO=ˆACO=90oABO^=ACO^=90o

OAOA chung

⇒ΔAOB=ΔAOC⇒ΔAOB=ΔAOC (ch-cgv)

⇒AB=AC⇒AB=AC và có thêm OB=OC⇒AOOB=OC⇒AO là đường trung trực của BCBC

Mà H là trung điểm của BC

⇒A,H,O⇒A,H,O thẳng hàng

Tứ giác ABOCABOC có ˆABO+ˆACO=90o+90o=180oABO^+ACO^=90o+90o=180o

⇒A,B,C,O⇒A,B,C,O cùng thuộc đường tròn đường kính OAOA.

Dễ thấy: \(x^2+2x+2>0;x^2-2x+3>0\)

\(\Rightarrow bpt\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+2x+2}\right)^2>\left(\sqrt{x^2-2x+3}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+2>x^2-2x+3\)

\(\Leftrightarrow4x>1\Leftrightarrow x>\frac{1}{4}\)

Vậy nghiệm của bpt là \(T=\left(\frac{1}{4};+\infty\right)\)

Chú ý: \(\frac{ab}{a+b}\le\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}{a+b}=\frac{a+b}{4}\).

Tương tự và cộng theo vế thu được \(M\le\frac{a+b+c}{2}=\frac{2018}{2}=1009\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = ²⁰¹⁸/₃

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x (km/h)
thời gian dự định là y (h)
Đk x > 10; y > 1
Quãng đường AB là xy (km)
Nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì vận tốc xe lúc này là x + 20 km/h
Thời gian giảm 1 h ta có y-1
Ta có pt (x+20)(y-1) =xy (1)
nếu vận tốc giảm 10 km/h thì thì vận tốc xe lúc này là x-10 km/h
Thời gian tăng 1h ta có y+1
Quãng đường AB là (x-10)(y+1)
Ta có pt (x-10)(y+1) =xy (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt
{(x+20)(y-1) =xy (1)
{(x-10)(y+1) =xy (2)
<=>{x-20y=-20
       {x-10y=10
<=>{10y=30
      {x-10y=10
<=>{y=3 (tmđk)
      {x=40 (tmđk)
Vậy vận tốc dự định của ô tô là 40 km/h
Thời gian dự định là 3 giờ

Gọi vận tốc dự định của ô tô là x ( km/h ) ( x > 0 )

      thời gian dự định của ô tô là y ( giờ ) ( y > 0 )

 Quãng đường AB là xy

Vận tốc ô tô khi tăng thêm 20km/h là: x + 20

Thời gian ô tô đi hết quãng đường là: y - 1

\(\Rightarrow\)( x + 20 ).( y - 1 ) = xy

        xy - x + 20y - 20 = xy

           - x + 20y = 20 (1)

Vận tốc ô tô khi giảm đi  10km/h là: x - 10

Thời gian ô tô đi hết quãng đường là: y + 1

 ( x - 10 ).( y +1 ) = xy

xy + x - 10y - 10 = xy

    x - 10y = 10 (2)

Từ ( 1 ) và ( 2) ta có hệ phương trình

\(\hept{\begin{cases}-x+20y=20\\x-10y=10\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=40\\y=3\end{cases}}}\)

Vậy vận tốc dự định của ô tô là 40km/h

  thời gian dự định của ô tô là 3 giờ