/\(\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}+\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}\ge33\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho điều kiện a,b nữa.
BĐT \(\Leftrightarrow4\left(a^3+b^3\right)\ge\left(a+b\right)^3\)
\(\Leftrightarrow3a^3+3b^3\ge3a^2b+3ab^2\Leftrightarrow3\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Trong 1 tam giác đều cạnh 1 . Lấy 17 điểm . CMR tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1/4
Chia tam giác đó thành 16 tam giác đều bằng nhau cạnh 1/4. Theo Dirichlet tồn tại 2 điểm cùng thuộc 1 tam giác và khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1/4 .
a) \(ĐKXĐ:x\ge0;x\ne3\)
b) \(A=\left(\frac{x-2\sqrt{3x}+3}{x-3}\right)\left(\sqrt{4x}+\sqrt{12}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\left(\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)^2}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}\right)\left(2\sqrt{x}+2\sqrt{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=\left(\frac{\sqrt{x}-\sqrt{3}}{\sqrt{x}+\sqrt{3}}\right).2\left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=2\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\)
\(\Leftrightarrow A=2\sqrt{x}-2\sqrt{3}\)
c) Thay \(x=4-2\sqrt{3}\)vào A, ta có :
\(A=2\sqrt{4-2\sqrt{3}}-2\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow A=2\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^2}-2\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow A=2\left(\sqrt{3}-1\right)-2\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow A=2\sqrt{3}-2-2\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow A=-2\)
Gọi x, y lần lượt là thời gian vòi 1 , vòi 2 chảy 1 mình đầy bể ( x, y >12, giờ )
=> 1 giờ vòi 1 chảy được \(\frac{1}{x}\)(bể )
1 giờ vòi 2 chảy được \(\frac{1}{y}\)(bể )
mà 1 giờ cả hai vòi chảy được \(\frac{1}{12}\)(bể )
=> Ta có phương trình: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}\)(1)
Vì vòi 1 chảy trong 5 giờ rồi khóa lại và mở vòi 2 trong 15 giờ thì được 75% bể nên ta có:
\(5.\frac{1}{x}+15.\frac{1}{y}=\frac{75}{100}\)(2)
Từ (1); (2) giải hệ với ẩn \(\frac{1}{x};\frac{1}{y}\)ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{1}{20}\\\frac{1}{y}=\frac{1}{30}\end{cases}}\)<=> x = 20; y = 30
Vậy vò 1 chảy 1 mình trong 20 giờ thì đầy bể; vòi hai chảy 1 mình trong 30 giờ thì đẩy bể.
Áp dụng BĐT C-S:
\(P=\frac{2}{\sqrt{11}}\left[\sqrt{\left[\left(a+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\right]\left(1+\frac{7}{4}\right)}+\sqrt{\left[\left(b+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{7}{4}\right]\left(1+\frac{7}{4}\right)}\right]\)
\(\ge\frac{2}{\sqrt{11}}\left[\left(a+\frac{9}{4}\right)+\left(b+\frac{9}{4}\right)\right]=\sqrt{11}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
t nghĩ đề phải bổ sung là a,b,c > 0 nữa.
Bất đẳng thức đã cho tương đương với :
\(\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}-6+\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2}-27\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^3+b^3+c^3-3abc\right)}{abc}+\frac{9\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)-27\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{abc}-\frac{18\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{a^2+b^2+c^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\left(\frac{a+b+c}{abc}-\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\left[\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-9abc\right]\ge0\)
cần chứng minh \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)-9abc\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc+a\left(b^2+c^2\right)+b\left(c^2+a^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)-6abc\ge0\)
Ta thấy \(a^3+b^3+c^3-3abc=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0\)
\(a\left(b^2+c^2\right)+b\left(a^2+c^2\right)+c\left(a^2+b^2\right)-6abc=a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a-b\right)^2\ge0\)
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c
Thanh Tùng DZ Sao anh ko dùng co si cho nhanh để cm cái bđt cuối ??
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9abc\Rightarrowđpcm\)