Put \(A=2+2^2+2^3+...+2^{99}\)

Infer \(2A=2^2+2^3+2^4+...+2^{100}\)

\(\Rightarrow2A-A=2^2+2^3+2^4+...+2^{100}-2-2^2-2^3-...-2^{99}\)

\(\Rightarrow A=2^{100}-2\)

Easy to see \(2^{100}=2^{4.25}\)Excess cessation takes the form \(2^{4n}\)

So \(2^{100}\)has the end number as 6

Candlesk \(2^{100}-2\)has the end number as 4

So \(2+2^2+2^3+...+2^{99}\)has the end number as 4

dk \(x\ge-1\)

dat \(x=a\ge-1,\sqrt{x+1}=b\ge0\)

=> \(\hept{\begin{cases}a^2+2b^2=3ab.\left(1\right)\\b^2-a=1.\left(2\right)\end{cases}}\) 

xet a=0 => x=0 ko phai la nghiem pt =>

(1) <=> \(1+2\left(\frac{b}{a}\right)^2-3\frac{b}{a}=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\frac{b}{a}=1\\\frac{b}{a}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}b=a\\a=2b\end{cases}}\)

th b=a thay vao (2) => \(b^2-b-1=0\Rightarrow b=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)=a=x (tmdk)

th a=2b thay vao (2) => \(b^2-2b-1=0\Rightarrow b=1+\sqrt{2}=>x=a=2+2\sqrt{2}\)(tmdk)

Vay \(S=\left\{2+2\sqrt{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}\)

\(P=\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a^2+5\right)}+\sqrt{6\left(b^2+5\right)}+\sqrt{c^2+5}}\)

\(=\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a^2+ab+bc+ca\right)}+\sqrt{6\left(b^2+ab+bc+ca\right)}+\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)(Do ab + bc + ca = 5)

\(=\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)

Áp dụng BĐT AM - GM, ta được:

\(\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=2\sqrt{\frac{6}{4}\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)\(\le\frac{6}{4}\left(a+b\right)+\left(a+c\right)=\frac{5}{2}a+\frac{6}{4}b+c\)

\(\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}=2\sqrt{\frac{6}{4}\left(b+a\right)\left(b+c\right)}\)\(\le\frac{6}{4}\left(a+b\right)+\left(b+c\right)=\frac{6}{4}a+\frac{5}{2}b+c\)

\(\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\le\frac{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}{2}=c+\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được: \(\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)\(\le\frac{9}{2}a+\frac{9}{2}b+3c\)

\(\Rightarrow\frac{3a+3b+2c}{\sqrt{6\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\sqrt{6\left(b+a\right)\left(b+c\right)}+\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\)\(\ge\frac{3a+3b+2c}{\frac{9}{2}a+\frac{9}{2}b+3c}=\frac{2}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1;c=2\)

Bdt phu \(\frac{a^{n+2}+b^{n+2}}{a^{n+1}+b^{n+1}}\ge\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^n+b^n}\)

cai nay ban tu chung minh nha , nhan cheo rut gon la ra

dau = khi a=b

Ap dung ta co \(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\ge\frac{x^2+y^2}{x+y}\ge\frac{x+y}{2}\)

tuong tu va suy ra \(A\ge\frac{x+y+y+z+z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=x+y+z=2015\)

Vay Amin = 2015 <=> x=y=z=2015/3

chuc ban hoc tot

Vẽ các đường kính AM, BN, CP của (O). Dễ cm được BMCH, CNAH,APBH là các hình bình hành => AH = CN; BH = CM; CH = BM

=> AH + BH + CH = CN + CM + BM

Vì BC cố định nên CN không đổi => (AH + BH + CH) max khi (CM + BM) max. Ta sẽ cm rằng điều đó xảy ra khi M trùng điểm chính giữa cung nhỏ BC.

Thật vậy gọi Q là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Kéo dài BQ đoạn QD = BQ = CQ, kéo dài BM đoạn ME = MC => BD = BQ + CQ = 2BQ và BE = BM + CM

Vì tg CQD cân tại Q => ^BDC = ^QCD = ^BQC/2

Tương tự tg CME cân tại M => ^BEC = ^MCE = ^BMC/2

Mà ^BMC = ^BQC => ^BEC = ^BDC => B,C,D,E cùng thuộc đường tròn đường kính BD => BE =< BD <=> BM + CM =< 2BQ => (BM + CM)

Max = 2BQ xảy ra khi E trùng D hay khi M trùng Q khi đó A là điểm chính giữa cung lớn BC