Câu 1. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²)

b) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

c) (a₁ + a₂ + ….. + a_n)² ≤ n(a₁² + a₂² + ….. + a_n²).

Câu 2. Cho a³ + b³ = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2.

Câu 3. Chứng minh rằng: [x] + [y] ≤ [x + y].

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của:  với x, y, z > 0.

Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x² + y² biết x + y = 4.

Câu 7. Tìm giá trị lớn nhất của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 1.

Câu 8. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ không nếu:

a) ab và a/b là số vô tỉ.

b) a + b và a/b là số hữu tỉ (a + b ≠0)

c) a + b, a² và b² là số hữu tỉ (a + b ≠0)

Câu 9. Cho a, b, c > 0. Chứng minh: a³ + b³ + abc ≥ ab(a + b + c)

Câu 10. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh:

Câu 11. Chứng minh rằng [2x] bằng 2[x] hoặc 2[x] + 1

Câu 12. Cho số nguyên dương a. Xét các số có dạng: a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n. Chứng minh rằng trong các số đó, tồn tại hai số mà hai chữ số đầu tiên là 96.

Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x²y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4.

Câu 2. Cho .

Hãy so sánh S và .

Câu 3. Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì √a là số vô tỉ.

Câu 4. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng:

Câu 5. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ:

Câu 6. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không?

Câu 7. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng:

Câu 8. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng: 

Câu 9. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ.

Câu 1. Cho biểu thức M = a² + ab + b² – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 2. Cho biểu thức P = x² + xy + y² – 3(x + y) + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.

Câu 3. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:

x² + 4y² + z² – 2a + 8y – 6z + 15 = 0

Câu 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Câu 5. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính):

Câu 6. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn √2 nhưng nhỏ hơn √3

Câu 7. Giải phương trình: .

Câu 1. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|

Câu 2.

a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)² ≥ 4a

b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8

Câu 3. Chứng minh các bất đẳng thức:

a) (a + b)² ≤ 2(a² + b²)

b) (a + b + c)² ≤ 3(a² + b² + c²)

Câu 4. Tìm các giá trị của x sao cho:

a) |2x – 3| = |1 – x|

b) x² – 4x ≤ 5

c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.

Câu 5. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a² + b² + c² + d² = a(b + c + d)

Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.

Câu 2.

a) Chứng minh: (ac + bd)² + (ad – bc)² = (a² + b²)(c² + d²)

b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)² ≤ (a² + b²)(c² + d²)

Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x² + y².

Câu 4.

a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy: 

b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 

c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.

Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a³ + b³.

Câu 6. Cho a³ + b³ = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.

Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a³ + b³ + abc ≥ ab(a + b + c)

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là 1 điểm trên cạnh BA ( D \(\ne A,B\)). Gọi M,N lần lượt là trung điểm các cạnh CB,AC. Đường thẳng MN cắt (O) tại các điểm P,Q (P,Q lần lượt thuộc cung CB và cung AC). Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP cắt CB tại I (khác B). Các đường thẳng DI và AC cắt nhau tại K.

a) C/m: Tứ giác CIPK nội tiếp

b) CMR:  PK.QC =QB.PD .

c) Đường thẳng AP cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BDP tại G (khác P). Đường thẳng IG cắt đường thẳng BA tại E. Cmr khi D di chuyển trên BA thì \(\frac{AD}{AE}\) không đổi.

Cho nửa đường tròn (O) đường kính  AB = 2R,  C là điểm bất kì nằm trên nửa đường tròn sao cho C khác A và  AC < CB. Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho COD = 90. Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD.

1) Chứng minh bốn điểm C, E,D, F cùng thuộc một đường tròn.

2) Chứng minh FC. FA = FD. FB    

3) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O)

4) Hỏi khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện bài toán, E thuộc đường tròn cố định nào?