A = x² - 20x - 125

= x² + 5x - 20x - 125

= x( x + 5 ) - 25( x + 5 )

= ( x + 5 )( x - 25 )

B = 12x² - 2x - 4

= 12x² + 6x - 8x - 4

= 6x( x + 2 ) - 4( x + 2 )

= ( x + 2 )( 6x - 4 )

C = 3a² - 5ab - 12b²

= 3a² - 9ab + 4ab - 12b²

= 3a( a - 3b ) + 4b( a - 3b )

= ( a - 3b )( 3a + 4b )

D = 25ab - 6a² + 9b²

= 9b² + 27ab - 2ab - 6a²

= 9b( b + 3a ) - 2a( b + 3a )

= ( b + 3a )( 9b - 2a )

a. \(\left(x+y\right)^3+\left(x-y\right)^3\)

\(=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+x^3-3x^2y+3xy^2-y^3\)

\(=2x^3+6xy^2\)

\(=2x\left(x^2+6y^2\right)\)

b. \(x^3-y^3+2x^2-2y^2\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+2\left(x^2-y^2\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+2\left(x+y\right)\left(x-y\right)\)

\(=\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2+2x+2y\right)\)

c. \(x^3-y^3-3x^2+3x-1\)

\(=\left(x^3-3x^2+3x-1\right)-y^3\)

\(=\left(x-1\right)^3-y^3\)

\(=\left(x-1-y\right)\left[\left(x-1\right)^2+\left(x-1\right)y+y^2\right]\)

\(=\left(x-y-1\right)\left(x^2+y^2+xy-2x-y+1\right)\)

a) \(x^6-y^6=\left(x^3-y^3\right)\left(x^3+y^3\right)=\left(x+y\right)\left(x-y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

b) \(x^6-y^3=\left(x^2-y\right)\left(x^4+x^2y+y^2\right)\)

c) \(x^4-27x=x\left(x^3-27\right)=x\left(x-3\right)\left(x^2+3x+9\right)\)

d) \(27x^5+x^2=x^2\left(27x^3+1\right)=x^2\left(3x+1\right)\left(9x^2-3x+1\right)\)

e) \(x^8-x^2=x^2\left(x^4-1\right)=x^2\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x^2\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)

f) \(\left(x+y\right)^3-x^3-y^3=3x^2y+3xy^2=3xy\left(x+y\right)\)

g) \(\left(x+y\right)^3-\left(x-y\right)^3=\left(x+y-x+y\right)\left(x^2+2xy+y^2+x^2-y^2+x^2-2xy+y^2\right)\)

\(=2y\left(2x^2+2y^2+x^2-y^2\right)\)

a) x² - y² + 4x + 4

= ( x² + 4x + 4 ) - y²

= ( x + 2 )² - y²

= ( x + 2 - y )( x + 2 + y )

b) x² - 2xy + y² - 1

= ( x² - 2xy + y² ) - 1

= ( x - y )² - 1²

= ( x - y - 1 )( x - y + 1 )

c) x² - 2xy + y² - 4

= ( x² - 2xy + y² ) - 4

= ( x - y )² - 2²

= ( x - y - 2 )( x - y + 2 )

d) x² - 2xy + y² - z²

= ( x² - 2xy + y² ) - z²

= ( x - y )² - z²

= ( x - y - z )( x - y + z )

e) 25 - x² + 4xy - 4y²

= 25 - ( x² - 4xy + 4y² )

= 5² - ( x - 2y )²

= ( 5 - x + 2y )( 5 + x - 2y )

f) x² + y² - 2xy - 4z²

= ( x² - 2xy + y² ) - 4z²

= ( x - y )² - ( 2z )²

= ( x - y - 2z )( x - y + 2z )

tứ giác ABCD có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^o\)

Hay \(2\widehat{A}+2\widehat{D}=360^o\)

        \(\Rightarrow2\left(\widehat{A}+\widehat{D}\right)=360^o\)

\(\Rightarrow\widehat{A}+\widehat{D}=180^o\)

\(\Rightarrow AB//CD\)

Vậy tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này có 2 góc kề 1 đáy bằng nhau nên là hình thang cân.

Áp dụng HĐT a² - b² = ( a - b )( a + b )

và tính chất aⁿ.bⁿ = ( a.b )ⁿ ( với n ∈ N* )

a) ( 3x + 1 )² - ( x + 1 )²

= [ ( 3x + 1 ) - ( x + 1 ) ][ ( 3x + 1 ) + ( x + 1 ) ]

= ( 3x + 1 - x - 1 )( 3x + 1 + x + 1 )

= 2x( 4x + 2 )

= 2x.2( 2x + 1 )

= 4x( 2x + 1 )

b) ( x + y )² - ( x - y )²

= [ ( x + y ) - ( x - y ) ][ ( x + y ) + ( x - y ) ]

= ( x + y - x + y )( x + y + x - y )

= 2y.2x = 4xy

c) ( 2xy + 1 )² - ( 2x + y )²

= [ ( 2xy + 1 ) - ( 2x + y ) ][ ( 2xy + 1 ) + ( 2x + y ) ]

= ( 2xy + 1 - 2x - y )( 2xy + 1 + 2x + y )

= [ ( 2xy - 2x ) - ( y - 1 ) ][ ( 2xy + 2x ) + ( y + 1 ) ]

= [ 2x( y - 1 ) - ( y - 1 ) ][ 2x( y + 1 ) + ( y + 1 ) ]

= ( y - 1 )( 2x - 1 )9 y + 1 )( 2x + 1 )

d) 9( x - y )² - 4( x + y )²

= 3²( x - y )² - 2²( x + y )² 

= [ 3( x - y ) ]² - [ 2( x + y ) ]²

= ( 3x - 3y )² - ( 2x + 2y )²

= [ ( 3x - 3y ) - ( 2x + 2y ) ][ ( 3x - 3y ) + ( 2x + 2y ) ]

= ( 3x - 3y - 2x - 2y )( 3x - 3y + 2x + 2y ) 

= ( x - 5y )( 5x - y )

e) ( 3x - 2y )² - ( 2x - 3y )²

= [ ( 3x - 2y ) - ( 2x - 3y ) ][ ( 3x - 2y ) + ( 2x - 3y ) ]

= ( 3x - 2y - 2x + 3y )( 3x - 2y + 2x - 3y )

= ( x + y )( 5x - 5y )

= ( x + y )5( x - y )

f) ( 4x² - 4x + 1 ) - ( x + 1 )²

= ( 2x - 1 )² - ( x + 1 )²

= [ ( 2x - 1 ) - ( x + 1 ) ][ ( 2x - 1 ) + ( x + 1 ) ]

= ( 2x - 1 - x - 1 )( 2x - 1 + x + 1 )

= 3x( x - 2 )

Thực ra thì có 1 định lí là nếu 1 tứ giác có 2 đường chéo vuông góc thì diện tích tứ giác bằng 1 nửa tích 2 đường chéo.

Nên \(S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}.3.4=6cm^2\),chẳng cần biết AB để làm gì cả :))

Chứng minh cũng đơn giản thoi

Tứ giác ABCD có AC và BD vuông góc tại H

Tam giác ABD có đường cao AH \(\Rightarrow S_{ABD}=\frac{1}{2}BD.AH\)

Tam giác BCD có đường cao CH \(\Rightarrow S_{BCD}=\frac{1}{2}BD.CH\)

Vậy \(S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{CBD}=\frac{1}{2}BD\left(BH+CH\right)=\frac{1}{2}BD.AC\)

Xooooong !!!

Ta có: \(\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{xz}+\frac{z^2}{xy}\Rightarrow x^3+y^3+z^3-3xyz=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=y=z\\x+y+z=0\end{cases}}\)

Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác O nên các số a,b,c là ba số khác nhau và khác O

+) Nếu: \(\frac{a}{b-c}=\frac{b}{c-a}=\frac{c}{a-b}=k\ne0\Rightarrow a=k\left(b-c\right);b=k\left(c-a\right);c=k\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c\)

Từ: \(\frac{a}{b-c}=\frac{b}{c-a}\Rightarrow\frac{a}{b+a+b}=\frac{b}{-a-b-a}\Rightarrow\left(a+b\right)^2+a^2+b^2=0\)

\(\Rightarrow a=b=0\Rightarrow a=b=c=0\)(loại)

+) Nếu: \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b\left(b-a\right)+c\left(a-c\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{b^2-ba+ca-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{c^2-cb+ab-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(2\right);\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2-ac+bc-b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\left(3\right)\)

Từ (1),(2) và (3) \(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c^2\right)}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)

Đặt \(m=\frac{a}{\left(b-c\right)^2};n=\frac{b}{\left(c-a\right)^2};p=\frac{c}{\left(a-b\right)^2}\Rightarrow m+n+p=0\)

\(\Rightarrow m^3+n^3+p^3=3mnp\Rightarrow\frac{m^2}{np}+\frac{n^2}{mp}+\frac{p^2}{mn}=3\left(ĐPCM\right)\)

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ (*) sau : \(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(< =>\left(x^2+y^2\right)2\ge\left(x+y\right)^2< =>2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy\)

\(< =>2x^2+2y^2-x^2-y^2-2xy\ge0< =>x^2-2xy+y^2\ge0< =>\left(x-y\right)^2\ge0\)*đúng*

Sử dụng bất đẳng thức (*) ta có : \(Q=\frac{\left(a+\frac{1}{b}\right)^2}{1}+\frac{\left(b+\frac{1}{a}\right)^2}{1}\ge\frac{\left(a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{a}\right)^2}{2}=\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2}{2}\)

Tiếp tục ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ (**) sau : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}< =>\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(< =>\left(a+b\right)^2\ge4ab< =>a^2+b^2+2ab-4ab\ge0< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

Áp dụng bất đẳng thức (**) ta được : \(\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2}{2}=\frac{\left[1+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2}{2}\ge\frac{\left(1+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}\)

\(=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\) 

Khi đó \(Q\ge\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]^2}{2}\ge\frac{\left(1+\frac{4}{a+b}\right)^2}{2}=\frac{\left(1+4\right)^2}{2}=\frac{5^2}{2}=\frac{25}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=\frac{1}{2}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

dòng cuối là : Vậy GTNN của Q = 25*2 khi a = b = 1/2

bó tay! =_=