*Tìm Max:

Do x,y,z là các số không âm và x + y + z = 3 nên \(0\le x,y,z\le3\)

Trước hết ta chứng minh:\(\sqrt{x^2-6x+26}\le\frac{\left(\sqrt{17}-\sqrt{26}\right)}{3}x+\sqrt{26}\) với \(0\le x\le3\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{9}\left(\sqrt{442}-17\right)x\left(3-x\right)\ge0\)  (đúng)

Tương tự 2 bất đẳng thức còn lại và cộng theo vế thu được: \(M\le\sqrt{17}+2\sqrt{26}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(3;0;0\right)\) và các hoán vị.

*Tìm min:

Ta có: \(\sqrt{x^2-6x+26}=\sqrt{\frac{1}{21}\left(2x-23\right)^2+\frac{17}{21}\left(x-1\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\frac{1}{21}\left(2x-23\right)^2}=\sqrt{\frac{1}{21}}\left|2x-23\right|=\sqrt{\frac{1}{21}}\left(23-2x\right)\) (vì \(2x-23\le2.3-23< 0\) )

Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế:

\(M\ge\sqrt{\frac{1}{21}}\left(69-2\left(x+y+z\right)\right)=3\sqrt{21}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

m=1 bạn ơi 

\(HPT\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)^2-2xy=11\\\left(x+y\right)+xy=3+4\sqrt{2}\end{cases}}\)

Đặt x+y=a;xy=b thì hệ trở thành: 

\(\hept{\begin{cases}a^2-2b=11\\a+b=3+4\sqrt{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-2b=11\\b=3+4\sqrt{2}-a\end{cases}}}\)

=> \(a^2-2\left(3+4\sqrt{2}-a\right)=11\)

<=>\(a^2-6-8\sqrt{2}+2a-11=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a-17-8\sqrt{2}=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a-\left(16+2.4.\sqrt{2}+2-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)^2-\left(4+\sqrt{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1-4-\sqrt{2}\right)\left(a+1+4+\sqrt{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-3-\sqrt{2}\right)\left(a+5+\sqrt{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-3-\sqrt{2}=0\\a+5+\sqrt{2}=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=3+\sqrt{2}\\a=-5-\sqrt{2}\end{cases}}}\)

=>\(\orbr{\begin{cases}b=3+4\sqrt{2}-3-\sqrt{2}=3\sqrt{2}\\b=3+4\sqrt{2}+5+\sqrt{2}=8+5\sqrt{2}\end{cases}}\)

- Với \(a=3+\sqrt{2},b=3\sqrt{2}\),ta có: \(x+y=3+\sqrt{2}\Rightarrow y=3+\sqrt{2}-x\) (1)

Thay (1) vào \(xy=3\sqrt{2}=b\Rightarrow x\left(3+\sqrt{2}-x\right)=3\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow3x+x\sqrt{2}-x^2=3\sqrt{2}\Leftrightarrow x\left(3-x\right)+\sqrt{2}\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(\sqrt{2}-x\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=\sqrt{2}\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=\sqrt{2}\\y=3\end{cases}}\)

- Với \(a=-5-\sqrt{2},b=8+5\sqrt{2}\), ta có: \(x+y=-5-\sqrt{2}\Rightarrow y=-5-\sqrt{2}-x\)(2)

Thay (2) vào \(xy=8+5\sqrt{2}=b\Rightarrow x\left(-5-\sqrt{2}-x\right)=8+5\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow-x^2-5x-x\sqrt{2}-8-5\sqrt{2}=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2+\left(-5-\sqrt{2}\right)x+\left(-8-5\sqrt{2}\right)=0\)(3)

\(\Delta=\left(-5-\sqrt{2}\right)^2-4.\left(-1\right).\left(-8-5\sqrt{2}\right)\)

\(=27+10\sqrt{2}-32-20\sqrt{2}=-5-10\sqrt{2}< 0\)

=>pt (3) vô nghiệm

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(3;\sqrt{2}\right)\) hoaojwc \(\left(\sqrt{2};3\right)\)

\(\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{2}}.\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\)\(=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\)

\(=\left(\sqrt{5}-1\right)^2\left(3+\sqrt{5}\right)=\left(6-2\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\)

\(=2\left(3-\sqrt{5}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)=2\left(9-5\right)=2.4=8\)