Câu hỏi của Nguyễn Cảnh Kyf - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)

Nhân hai vế của đẳng thức với: \(\sqrt{x^2+1-x}\) 

Ta được: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\)

\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\)

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}\left(1\right)\)

Mặt khác ta có: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)

Nhân hai vế của đẳng thức với: \(\sqrt{y^2+1}-y\)

Ta được: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)=\sqrt{y^2+1}-y\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y\)

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}\left(2\right)\)

Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow x+y=0\left(đpcm\right)\)

ĐK: \(x\le2\)

pt <=> \(2=2-x+\sqrt{2-x}\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}\sqrt{2-x}.\)

<=> \(2=\sqrt{2-x}\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}\right)+\sqrt{5-x}\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}\right).\)

<=> \(2=\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}\right)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{2-x}\right).\)

<=> \(2\left(\sqrt{5-x}-\sqrt{2-x}\right)=3\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}\right)\)( vì \(\sqrt{5-x}-\sqrt{2-x}\ne0;\forall x\inℝ\))

<=> \(2\sqrt{5-x}=5\sqrt{2-x}+3\sqrt{3-x}\)

<=> \(4\left(5-x\right)=25\left(2-x\right)+9\left(3-x\right)+30\sqrt{\left(2-x\right)\left(3-x\right)}\)

<=> \(-57+30x=30\sqrt{\left(2-x\right)\left(3-x\right)}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}30x-57\ge0\\900x^2-3420x+3249=900x^2-4500x+5400\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x\ge\frac{57}{30}\\x=\frac{239}{120}\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{239}{120}\)tmđk

mik cũng thắc mắc giống bạn đó

Câu hỏi của Nguyễn Cảnh Kyf - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

\(x-1< [x]\le x\)

Cái này là định lý nha bạn.Nên không cần chứng minh

Còn: \(x=\left[x\right]+1\)Khi \(x\in R\backslash Z\)và \(x< \left[x\right]+1\)Khi \(x\in Z\)

Còn: \(\left[x\right]+1=\left[x+1\right]\)là hoàn toàn sai

Khi k nguyên :

[ x ] + k = [x  + k ] 

nên [ x ] + 1 = [ x + 1] không phải là hoàn toàn sai đâu em

\(VP=\frac{1}{2}\Sigma\sqrt{4\left(a^2b+a^2c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma\left(4+a^2b+a^2c\right)\)

\(=3+\frac{1}{4}\Sigma ab\left(a+b\right)\le3+\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3+3abc\right)\le a^3+b^3+c^3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

mình nghĩ là khi a=b

x^2 + 4x = căn(x+6)

Đk x>=-6

x^2 +4x>=0 <=> x>=0 hoặc x<= -4

--> đk: -6<=x<=-4 hoặc x>=0

pt <=> [ x^2 + 4x ]^2 = x+6

<=> x^4 + 8x^3 + 16x^2 - x - 6 =0

<=> x^4 + ( 3+5)x^3 + ( -2+15+3)x^2 + (-10+9)x- 6 =0

<=> (x^4 + 3x^3 - 2x^2) + ( 5x^3 + 15x^2 -10x) + (3x^2 +9x-6) =0

<=> x^2.(x^2+3x-2) + 5x(x^2+3x-2) + 3(x^2+3x-2) = 0

<=> (x^2+5x+3)(x^2+3x-2) =0

* x^2+5x+3 =0

<=> x= (-5-căn13)/2 ; x= (-5+căn13)/2 (loại vì ko thỏa đk)

* x^2+3x-2 =0

<=> x= (-3-căn17)/2 (loại vì ko thỏa đk) ; x= (-3+căn17)/2

Tóm lại ta có 2 nghiệm

x= (-5-căn13)/2

x= (-3+căn17)/2

Đặt \(y=\sqrt{x+6}\)

\(y^2=x+6\)( 1 )

\(x^2+4x=\left(x+2\right)^2-4=\sqrt{x+6}=y\)

hay \(\left(x+2\right)^2=y+4\)

( 1 ) và ( 2 ) là 2 hệ pt đối xứng \(\left(y-x-2\right)\left(y+x+3\right)=0\)

đên đây tự lm nhen ...