Câu hỏi của Nguyễn Cảnh Kyf - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

\(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)

Nhân hai vế của đẳng thức với: \(\sqrt{x^2+1-x}\) 

Ta được: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=\sqrt{x^2+1}-x\)

\(\Leftrightarrow y+\sqrt{y^2+1}=\sqrt{x^2+1}-x\)

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}\left(1\right)\)

Mặt khác ta có: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(y+\sqrt{y^2+1}\right)=1\)

Nhân hai vế của đẳng thức với: \(\sqrt{y^2+1}-y\)

Ta được: \(\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\left(\sqrt{y^2+1}-y\right)\left(\sqrt{y^2+1}+y\right)=\sqrt{y^2+1}-y\)

\(\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=\sqrt{y^2+1}-y\)

\(\Leftrightarrow x+y=\sqrt{y^2+1}-\sqrt{x^2+1}\left(2\right)\)

Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow x+y=0\left(đpcm\right)\)

ĐK: \(x\le2\)

pt <=> \(2=2-x+\sqrt{2-x}\sqrt{3-x}+\sqrt{3-x}\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}\sqrt{2-x}.\)

<=> \(2=\sqrt{2-x}\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}\right)+\sqrt{5-x}\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}\right).\)

<=> \(2=\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}\right)\left(\sqrt{5-x}+\sqrt{2-x}\right).\)

<=> \(2\left(\sqrt{5-x}-\sqrt{2-x}\right)=3\left(\sqrt{2-x}+\sqrt{3-x}\right)\)( vì \(\sqrt{5-x}-\sqrt{2-x}\ne0;\forall x\inℝ\))

<=> \(2\sqrt{5-x}=5\sqrt{2-x}+3\sqrt{3-x}\)

<=> \(4\left(5-x\right)=25\left(2-x\right)+9\left(3-x\right)+30\sqrt{\left(2-x\right)\left(3-x\right)}\)

<=> \(-57+30x=30\sqrt{\left(2-x\right)\left(3-x\right)}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}30x-57\ge0\\900x^2-3420x+3249=900x^2-4500x+5400\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x\ge\frac{57}{30}\\x=\frac{239}{120}\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{239}{120}\)tmđk

mik cũng thắc mắc giống bạn đó

Câu hỏi của Nguyễn Cảnh Kyf - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

\(x-1< [x]\le x\)

Cái này là định lý nha bạn.Nên không cần chứng minh

Còn: \(x=\left[x\right]+1\)Khi \(x\in R\backslash Z\)và \(x< \left[x\right]+1\)Khi \(x\in Z\)

Còn: \(\left[x\right]+1=\left[x+1\right]\)là hoàn toàn sai

Khi k nguyên :

[ x ] + k = [x  + k ] 

nên [ x ] + 1 = [ x + 1] không phải là hoàn toàn sai đâu em

\(VP=\frac{1}{2}\Sigma\sqrt{4\left(a^2b+a^2c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma\left(4+a^2b+a^2c\right)\)

\(=3+\frac{1}{4}\Sigma ab\left(a+b\right)\le3+\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3+3abc\right)\le a^3+b^3+c^3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

mình nghĩ là khi a=b

x^2 + 4x = căn(x+6)

Đk x>=-6

x^2 +4x>=0 <=> x>=0 hoặc x<= -4

--> đk: -6<=x<=-4 hoặc x>=0

pt <=> [ x^2 + 4x ]^2 = x+6

<=> x^4 + 8x^3 + 16x^2 - x - 6 =0

<=> x^4 + ( 3+5)x^3 + ( -2+15+3)x^2 + (-10+9)x- 6 =0

<=> (x^4 + 3x^3 - 2x^2) + ( 5x^3 + 15x^2 -10x) + (3x^2 +9x-6) =0

<=> x^2.(x^2+3x-2) + 5x(x^2+3x-2) + 3(x^2+3x-2) = 0

<=> (x^2+5x+3)(x^2+3x-2) =0

* x^2+5x+3 =0

<=> x= (-5-căn13)/2 ; x= (-5+căn13)/2 (loại vì ko thỏa đk)

* x^2+3x-2 =0

<=> x= (-3-căn17)/2 (loại vì ko thỏa đk) ; x= (-3+căn17)/2

Tóm lại ta có 2 nghiệm

x= (-5-căn13)/2

x= (-3+căn17)/2

Đặt \(y=\sqrt{x+6}\)

\(y^2=x+6\)( 1 )

\(x^2+4x=\left(x+2\right)^2-4=\sqrt{x+6}=y\)

hay \(\left(x+2\right)^2=y+4\)

( 1 ) và ( 2 ) là 2 hệ pt đối xứng \(\left(y-x-2\right)\left(y+x+3\right)=0\)

đên đây tự lm nhen ...

 Bạn tham khảo đề bài và cách làm  của bài này rồi làm tương tự bài mà bạn đang   cần giải đáp nha !!/ :

Có 15 nam và 15 nữ ngồi xung quanh một bàn tròn. Chứng minh rằng tồn tại 6 người ngồi cạnh nhau trong đó có đúng 3 nam và 3 nữ,

                                                           Bài làm 

Giả sử không chọn được nhóm 6 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta đánh số thứ tự cho các bạn nam từ 11 đến 1515 theo chiều kim đồng hồ, gọi xixi là số bạn nữ giữa bạn nam thứ ii và i+1(1≤i≤14)i+1(1≤i≤14) và x15x15 là số bạn nữ giữa bạn nam thứ 1515 và thứ 11.

Ta có 15∑1xi=15∑115xi=15

Điều kiện để chọn ra nhóm 6 bạn ngồi cạnh nhau mà thỏa mãn điều kiện bài toán là tồn tại ii sao cho xi+xi+1≤3xi+xi+1≤3 và trong hai số xi−1,xi+2xi−1,xi+2 luôn có một số mà tổng nó với xi,xi+1xi,xi+1 không nhỏ hơn 3.

Nếu trong xixi tồn tại một số không nhỏ hơn 3, giả sử x1≥3x1≥3, nếu x2+x3≤3x2+x3≤3 thì ta chọn được bạn nam số 2,3,42,3,4 (vô lý); do đó x2+x3≥4x2+x3≥4, nếu x3+x4≥3x3+x4≥3 thì ta chọn được bạn nam số 3,4,53,4,5 (vô lý), do đó x3+x4≥4x3+x4≥4, cứ làm như vậy ta được xi+xi+1≥4(2≤i≤14)xi+xi+1≥4(2≤i≤14), suy ra 15∑1xi=x1+(x2+x3)+...+(x14+x15)≥3+7.4>15∑115xi=x1+(x2+x3)+...+(x14+x15)≥3+7.4>15 (vô lý).

Do đó xixi chỉ nhận các giá trị 0,1,20,1,2, nếu xi=1xi=1 với mọi ii thì ta điều giả sử vô lý do đó trong xixi có ít nhất 1 số bằng 00 và 1 số bằng 22.

Ta viết dãy xixi thành dãy 15 số 0,1,20,1,2, nhận thấy số số 0 phải bằng số số 2.

Vì có ít nhất một số 2 nên không mất tính tổng quát giả sử số đầu tiên là 2, nếu có tồn tại hai số 1 và 2 hoặc hai số 2 nằm liên tiếp nhau thì ta có thể chọn được các bạn thỏa mãn bài toán (vô lý với giả sử) nên ta với mỗi số 2 thì hai bên cạnh nó phải là hai số 0. Do đó số số 0 nhiều hơn số số 2(vô lý)(số số 0 bằng số số 2 chỉ trong trường hợp dãy có chẵn số và các số 2, 0 xếp xen kẽ nhau nhưng dãy có 15 số nên điều này không xảy ra được).

Vậy điều giả sử sai, luôn chọn được nhóm 6 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán.