Từ phương trình của 2 hệ ta suy ra x,y >=0. Xét phương trình

\(x^3+y^3+7\left(x+y\right)xy=8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

\(x^3+xy+y^3+7\left(x+y\right)=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2+6xy\right)=\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2+4xy\right]\)

Theo bất đằng thức Cô Si ta có:

\(\left(x+y\right)^2+4xy\ge2\sqrt{\left(x+y\right)^2\cdot4xy}\). Ta có:

\(\left(x+y\right)^2=\left(x^2+y^2\right)+2xy\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\cdot2xy}\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+7\left(x+y\right)xy\ge8xy\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x=y

Thay vào phương trình (2) ta thu được

\(\sqrt{x}-\sqrt{2x-3}-6=6-2x\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2\left(x-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-3}{\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}}=2\left(x-3\right)\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\\sqrt{2x-3}+\sqrt{x}=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Do \(x\ge\frac{3}{2}\)nên phương trình vô nghiệm

Hệ phương trình có nghiệm x=y=3

a) \(4\left(x+3\right)^2=\left(2x+6\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2^2\left(x+3\right)^2=\left(2x+6\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+6\right)^2=\left(2x+6\right)^2\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=ℝ\)

b) \(\left(3x+4\right)^2=4\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow9x^2+24x+16=4x+12\)

\(\Leftrightarrow9x^2+20x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(9x+2\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}9x+2=0\\x+2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{9}\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{-\frac{2}{9};-2\right\}\)

c) \(\left(6x+3\right)^2=\left(x-4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}6x+3=x-4\\6x+3=4-x\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}5x+7=0\\7x-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{7}{5}\\x=\frac{1}{7}\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{-\frac{7}{5};\frac{1}{7}\right\}\)

d) \(\left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x+3\right)-2=0\)

Đặt \(t=x^2+3x+2\), ta có :

     \(t\left(t+1\right)-2=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+2\right)\left(t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t+2=0\\t-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+3x+4=0\\x^2+3x+1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}=0\left(ktm\right)\\\left(x+\frac{3}{2}\right)^2-1,25=0\left(tm\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{1,25}-\frac{3}{2}=-\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)(tm)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{-\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\right\}\)

e)Đề bài sai ! Mik sửa :

 \(\left(x^2-5x\right)^2+10\left(x^2-5x\right)+24=0\)

Đặt \(t=x^2-5x\), ta có :

       \(t^2+10t-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+12\right)\left(t-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t+12=0\\t-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-5x+12=0\\x^2-5x-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{23}{4}=0\left(ktm\right)\\\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{33}{4}=0\left(tm\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow x=\pm\frac{\sqrt{33}}{2}+\frac{5}{2}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{\frac{\sqrt{33}}{2}+\frac{5}{2};-\frac{\sqrt{33}}{2}+\frac{5}{2}\right\}\)

f) \(\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+x+2\right)-12=0\)

Đặt \(t=x^2+x+1\), ta có :

    \(t\left(t+1\right)-12=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+t-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+4\right)\left(t-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t+4=0\\t-3=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+x+5=0\\x^2+x-2=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{19}{4}=0\left(ktm\right)\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{4}=0\left(tm\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=1\left(tm\right)\\x=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-2\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{1;-2\right\}\)

g) \(x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)=24\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+x\right)\left(x^2+x-2\right)-24=0\)

Đặt \(t=x^2+x\), ta có :

     \(t\left(t-2\right)-24=0\)

\(\Leftrightarrow t^2-2t-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+4\right)\left(t-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t+4=0\\t-6=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+x+4=0\\x^2+x-6=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}=0\left(ktm\right)\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-\frac{25}{4}=0\left(tm\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2\left(tm\right)\\x=-\frac{5}{2}-\frac{1}{2}=-3\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{2;-3\right\}\)

h) \(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)-24=0\)

Đặt \(t=x^2+5x+4\), ta có :

     \(t\left(t+2\right)-24=0\)

\(\Leftrightarrow t^2+2t-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t+6\right)\left(t-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t+6=0\\t-4=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+5x+10=0\\x^2+5x=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(x+\frac{5}{2}\right)^2+\frac{15}{4}=0\left(ktm\right)\\x\left(x+5\right)=0\left(tm\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(tm\right)\\x=-5\left(tm\right)\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{0;-5\right\}\)