Lời giải
$-3+5i$ có phần thực là $-3$ và phần ảo là $5$

$4-i\sqrt{2}$ có phần thực là $4$ và phần ảo là $-\sqrt{2}$

\(f'\left(x\right)=\dfrac{1}{x}\)

\(f''\left(x\right)=-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{\left(-1\right)^{2-1}.\left(2-1\right)!}{x^2}\)

\(f'''\left(x\right)=\dfrac{2}{x^3}=\dfrac{\left(-1\right)^{3-1}.\left(3-1\right)!}{x^3}\)

\(\Rightarrow f^{\left(n\right)}\left(x\right)=\dfrac{\left(-1\right)^{n-1}.\left(n-1\right)!}{x^n}\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(2;5;2\right)\) ; \(\overrightarrow{AC}=\left(-2;4;2\right)\)

\(\left[\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right]=\left(2;-8;18\right)=2\left(1;-4;9\right)\)

\(\Rightarrow\left(ABC\right)\) nhận (1;-4;9) là 1 vtpt

Phương trình (ABC):

\(1\left(x-1\right)-4\left(y+2\right)+9z=0\Leftrightarrow x-4y+9z-9=0\)

\(\Rightarrow\) Độ dài đường cao:

\(DH=d\left(D;\left(ABC\right)\right)=\dfrac{\left|3-4.3+9.1-9\right|}{\sqrt{1^2+\left(-4\right)^2+9^2}}=\dfrac{9\sqrt{2}}{14}\)

\(\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}-\sqrt{4-x}\ge2\sqrt{3}\) (ĐK: \(-2\le x\le4\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}\ge2\sqrt{3}+\sqrt{4-x}\)

\(\Leftrightarrow2x^3+3x^2+6x+16\ge12+4-x+4\sqrt{3\left(4-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow2x^3+3x^2+7x\ge4\sqrt{3\left(4-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x^3+3x^2+7x\right)^2\ge48\left(4-x\right)\\2x^3+3x^2+7x\ge0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x^5+16x^4+53x^3+95x^2+144x+192\right)\ge0\)(\(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow x-1\ge0\)(vì \(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow x\ge1\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(\left[1;4\right]\).

\(a^2+b^2=1^2+4^2=17\)

ĐKXĐ: \(-2\le x\le4\)

\(\sqrt{2x^3+3x^2+6x+16}\ge\sqrt{4-x}+2\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow2x^3+3x^2+6x+16\ge16-x+4\sqrt{3\left(4-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow2x^3+3x^2+7x\ge4\sqrt{3\left(4-x\right)}\)

\(\Leftrightarrow2x^3+3x^2+7x-12+4\left(3-\sqrt{3\left(4-x\right)}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2+5x+12\right)+\dfrac{12\left(x-1\right)}{3+\sqrt{3\left(4-x\right)}}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2x^2+5x+12+\dfrac{12}{3+\sqrt{3\left(4-x\right)}}\right)\ge0\)

Do \(2x^2+5x+12+\dfrac{12}{3+\sqrt{3\left(4-x\right)}}>0\) với mọi x nên BPT tương đương:

\(x-1\ge0\Rightarrow x\ge1\)

\(\Rightarrow1\le x\le4\Rightarrow a^2+b^2=17\)

Gắn hình lập phương vào trục tọa độ như hình

\(\overrightarrow{IJ}=\left(-\dfrac{1}{2};1;-\dfrac{1}{2}\right);\overrightarrow{AC'}=\left(1;1;1\right)\)\(\Rightarrow\cos\left(\widehat{\overrightarrow{IJ},\overrightarrow{AC'}}\right)=\dfrac{|\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{AC'}|}{\left|\overrightarrow{IJ}\right|.\left|\overrightarrow{AC'}\right|}=\dfrac{\left|-\dfrac{1}{2}+1-\dfrac{1}{2}\right|}{\sqrt{\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{1}{4}}.\sqrt{1+1+1}}=0\)

\(IJ=\sqrt{\dfrac{1}{4}+1+\dfrac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)

Đặt \(\sqrt{8+6i}=x+yi\) với \(x;y\in R\)

\(\Rightarrow8+6i=x^2+2xyi+y^2i^2=x^2-y^2+2xyi\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-y^2=8\\xy=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x^2-\dfrac{9}{x^2}=8\)

\(\Rightarrow x^4-8x^2-9=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\Rightarrow y=1\\x=-3\Rightarrow y=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{8+6i}=3+i\\\sqrt{8+6i}=-3-i\end{matrix}\right.\)

ta thấy 2x^3+3x^2 +5x+16 =(x-2)(2x^2-x+8) => điều kiện xác định là x-2>=0 và 4-x>=0 (vì 2x^2 -x+8 >=0 với mọi x)

=> 2 <=x<=4  vậy a^2 +b^2 = 20