a) \(A=\sqrt[]{\left(\sqrt[]{3}-2\right)^2}-\sqrt[]{3}+\sqrt[]{12}\)

\(\Leftrightarrow A=\left|\sqrt[]{3}-2\right|-\sqrt[]{3}+2\sqrt[]{3}\)

\(\Leftrightarrow A=2-\sqrt[]{3}-\sqrt[]{3}+2\sqrt[]{3}\left(2^2=4>\left(\sqrt[]{3}\right)^2=3\right)\)

\(\Leftrightarrow A=2\)

\(B=\left(\dfrac{3\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-1}-\dfrac{1}{\sqrt[]{x}+1}-3\right).\dfrac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}+2}\left(x\ge0;x\ne1\right)\)

\(\Leftrightarrow B=\left(\dfrac{3\sqrt[]{x}\left(\sqrt[]{x}+1\right)-\left(\sqrt[]{x}-1\right)-3\left(x-1\right)}{\left(\sqrt[]{x}-1\right)\left(\sqrt[]{x}+1\right)}\right).\dfrac{\sqrt[]{x}+1}{\sqrt[]{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow B=\left(\dfrac{3x+3\sqrt[]{x}-\sqrt[]{x}+1-3x+3}{\sqrt[]{x}-1}\right).\dfrac{1}{\sqrt[]{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow B=\dfrac{2\sqrt[]{x}+4}{\sqrt[]{x}-1}.\dfrac{1}{\sqrt[]{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow B=\dfrac{2\left(\sqrt[]{x}+2\right)}{\sqrt[]{x}-1}.\dfrac{1}{\sqrt[]{x}+2}\)

\(\Leftrightarrow B=\dfrac{2}{\sqrt[]{x}-1}\)

b) \(B< -A\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt[]{x}-1}< -2\) \(\left(x\ge0;x\ne1\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt[]{x}-1}+2< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\sqrt[]{x}}{\sqrt[]{x}-1}< 0\)

\(\Leftrightarrow0< \sqrt[]{x}< 1\)

\(\Leftrightarrow0< x< 1\left(thỏa.đkxd\right)\)

 Dễ thấy \(\widehat{HKF}=\widehat{HCM}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\))

 Xét tam giác HKF và HCM, có: \(\widehat{KHF}=\widehat{CHM}\left(=90^o\right)\) và \(\widehat{HKF}=\widehat{HCM}\) (cmt)

 Suy ra \(\Delta HKF~\Delta HCM\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{HK}{HC}=\dfrac{HF}{HM}\) \(\Rightarrow HK.HM=HC.HF\)

 Mà \(HC.HF\le\dfrac{\left(HC+HF\right)^2}{4}=\dfrac{FC^2}{4}\) (BĐT Cô-si), suy ra \(HK.HM\le\dfrac{FC^2}{4}\) (đpcm)

 Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow HC=HF\) \(\Leftrightarrow\) H là trung điểm CF \(\Leftrightarrow\Delta KFC\) cân tại K.

Với m = 1 

(d₁) có dạng y = x + 3

(d₂) có dạng y = -x + 3

Phương trình hoành độ giao điểm 

-x + 3 = x + 3

<=> x = 0

Với x = 0 <=> y = 3

Tọa độ giao điểm A(0;3) 

 Gọi K là hình chiếu của M lên AC. Xét tam giác MBH vuông tại H và MCK vuông tại K, ta có:

\(MB=MC\) (M là trung điểm BC); \(\widehat{B}=\widehat{C}\) (tam giác ABC cân tại A)

 \(\Rightarrow\Delta MBH=\Delta MCK\left(ch-gn\right)\)  \(\Rightarrow MH=MK\)

 Ta thấy MK chính là khoảng cách từ AC đến M, đồng thời MK bằng MH là bán kính của đường tròn (M; MH) nên AC tiếp xúc với (M) (đpcm)

 Dễ thấy ABDC là hình thang. Vì O, I lần lượt là trung điểm của AB, CD nên OI là đường trung bình của hình thang ABDC.

 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OI//AC//BD\Rightarrow OI\perp AB\left(tạiO\right)\\OI=\dfrac{AC+BD}{2}=\dfrac{CM+DM}{2}=\dfrac{CD}{2}=R\end{matrix}\right.\) với R là bán kính của đường tròn \(\left(CD\right)\).

 Từ đó suy ra AB tiếp xúc (I) tại O. (đpcm)

ĐKXĐ: \(a\ne4\)

a) \(C=\left(\dfrac{2+\sqrt{a}}{2-\sqrt{a}}-\dfrac{2-\sqrt{a}}{2+\sqrt{a}}-\dfrac{4a}{a-4}\right):\left(\dfrac{2}{2-\sqrt{a}}-\dfrac{\sqrt{a}+3}{2\sqrt{a}-a}\right)\)

\(=\left[\dfrac{\left(2+\sqrt{a}\right)^2-\left(2-\sqrt{a}\right)^2}{\left(2+\sqrt{a}\right)\left(2-\sqrt{a}\right)}+\dfrac{4a}{4-a}\right]:\left[\dfrac{2\sqrt{a}-\sqrt{a}-3}{\sqrt{a}\left(2-\sqrt{a}\right)}\right]\)

\(=\dfrac{4+4\sqrt{a}+a-4+4\sqrt{a}-a+4a}{\left(2+\sqrt{a}\right)\left(2-\sqrt{a}\right)}.\dfrac{\sqrt{a}\left(2-\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}-3}\)

\(=\dfrac{4a+8\sqrt{a}}{\left(2+\sqrt{a}\right)\left(2-\sqrt{a}\right)}.\dfrac{\sqrt{a}\left(2-\sqrt{a}\right)}{\sqrt{a}-3}\)

\(=\dfrac{4\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+2\right).\sqrt{a}\left(2-\sqrt{a}\right)}{\left(2+\sqrt{a}\right)\left(2-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}-3\right)}\)

\(=\dfrac{4a}{\sqrt{a}-3}\)

Biểu thức B là biểu thức nào vậy em?

1) \(y=mx+1\left(m\ne0\right)\left(1\right)\) hay \(mx-y+1=0\)

Để đồ thị hàm số \(\left(1\right)\) đi qua điểm \(M\left(-1;-1\right)\) khi và chỉ khi

\(m.\left(-1\right)+1=-1\)

\(\Leftrightarrow-m=-2\)

\(\Leftrightarrow m=2\)

Vậy hàm số \(\left(1\right):y=2x+1\)

Bạn tự vẽ đồ thị nhé!

2) \(y=\left(m^2-2\right)x+2m+3\left(d\right)\)

Để \(\left(1\right)//\left(d\right)\) khi và chỉ khi

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2-2=2\\2m+3\ne1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2=4\\2m\ne-2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=\pm2\\m\ne-1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=\pm2\) thỏa đề bài

3) Khoảng cách từ gốc O đến đồ thị hàm số \(\left(1\right)\) là:

\(d\left(O;\left(1\right)\right)=\dfrac{m.0-0+1}{\sqrt[]{2^2+1^2}}=\dfrac{2}{\sqrt[]{5}}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{0.m+1}{\sqrt[]{5}}=\dfrac{2}{\sqrt[]{5}}\)

\(\Leftrightarrow0m=1\)

\(\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

Vậy không có giá trị nào của m để thỏa mãn đề bài,

Đáp án:

1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm M (−1;−1). Với m tìm được, vẽ đồ thị hàm số (1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm M (−1;−1), ta cần có m(−1)+1=−1. Từ đó ta có m=−2.

Với m=−2, đồ thị hàm số (1) là một đường thẳng có hệ số góc -2 và đi qua điểm M (−1;−1). Ta có thể vẽ đồ thị hàm số như sau:

[Image of the graph of y=-2x+1]

2. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y (m² - 2) x + 2m+3 =

Hai đường thẳng song song khi hệ số góc của chúng bằng nhau. Do đó, ta có m=m2−2. Từ đó ta có m=2.

3. Tìm m để khoảng cách từ gốc O đến đồ thị hàm số (1) bằng 2 √5

Khoảng cách từ gốc O đến đồ thị hàm số (1) là khoảng cách từ điểm (0;1) đến đường thẳng y=mx+1. Khoảng cách này được tính theo công thức:

Do đó, ta có d=2552=2.

Từ đó, ta có m=2.

Kết luận:

• Giá trị của m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm M (−1;−1) là m=-2.
• Giá trị của m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y (m² - 2) x + 2m+3 = là m=2.
• Giá trị của m để khoảng cách từ gốc O đến đồ thị hàm số (1) bằng 2 √5 là m=2.

Lưu ý:

• Để giải bài toán 1 và 2, ta có thể thay m=-2 vào hàm số (1) và so sánh với tọa độ của điểm M (−1;−1) hoặc tọa độ của một điểm bất kỳ trên đường thẳng y (m² - 2) x + 2m+3 =.
• Để giải bài toán 3, ta có thể sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

chúc bạn học tốt