a) \(x_1^2+x_2^2=23\)

\(\Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=23\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=23\)

\(\Leftrightarrow5^2-2\left(m+4\right)=23\)

<=> m=-3

b) \(x_1^3+x_2^3=35\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=35\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]=35\)

\(\Leftrightarrow5\left[5^2-3\left(m+4\right)\right]=35\)

<=> m=2

c) \(\left|x_2-x_1\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left(\left|x_2-x_1\right|\right)^2=3^2\)

\(\Leftrightarrow x_1^2-2x_1x_2+x_1^2=3^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)

<=> m=0

ĐK để pt có hai nghiệm phân biệt là: \(\Delta>0\Leftrightarrow25-4\left(m+4\right)>0\Leftrightarrow m< \frac{9}{4}\) ( @@) 

Gọi \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình 

Theo định lí Viet ta có: \(x_1+x_2=5;x_1.x_2=m+4\)

a) \(x_1^2+x_2^2=23\)

<=> \(x_1^2+x_2^2+2x_1x_2=23+2x_1x_2\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2=23+2x_1x_2\)

=> \(25=23+2\left(m+4\right)\)

<=>m = -3 ( thỏa mãn @@) 

b) \(x_1^3+x_2^3=35\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^3-3\left(x_1+x_2\right)x_1x_2=35\)

=> \(5^3-3.5.\left(m+4\right)=35\)

<=> m = 2 ( thỏa mãn @@) 

c) \(\left|x_2-x_1\right|=3\)

<=> \(\left(x_1-x_2\right)^2=9\)

<=> \(\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=9\)

=> \(5^2-4\left(m+4\right)=9\)

<=> m = 0 ( thỏa mãn @@)

Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski,ta có :

\(\left(a^3+b^3+1\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Tương tự : \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+a^2}{\left(a+b+c\right)^2};\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+b^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Cộng 3 BĐT trên lại theo vế, ta được :

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Ta thấy \(\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc;\frac{1}{b}=\frac{abc}{b}=ac;\frac{1}{c}=\frac{abc}{c}=ab\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{2\left(ab+bc+ac\right)+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = 1

Cách khác anh Thanh Tùng DZ

Ta có BĐT sau:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\) ( khó quá chứng minh ko nổi )

\(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=1\)

Dấu "=' xảy ra tại a=b=c=1

Gọi chiều rộng mảnh vườn là x, chiều dài mảnh vườn là 3x

Diện tích mảnh vườn ban đầu là:  \(3x^2\left(m^2\right)\)

Diện tích mảnh vườn sau khi tăng chiều dài và rộng lên 5 m là:

\(\left(x+5\right)\left(3x+5\right)\left(m^2\right)\)

Vì diện tích tăng thêm \(385m^2\) nên ta có phương trình:

\(\left(x+5\right)\left(3x+5\right)=3x^2+385\)

\(\Leftrightarrow3x^2+20x+25=3x^2+385\)

\(\Leftrightarrow20x=360\)

\(\Leftrightarrow x=18\)

=> Chiều rộng ban đầu là 18 m, chiều dài ban đầu là 54 m. 

\(ĐKXĐ:x\ne1;-4\)

\(\frac{15}{x^2+3x-4}-1=12\left(\frac{1}{x+4}+\frac{1}{3x-3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{15x-x^2-3x+4}{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}=12.\frac{3\left(x-1\right)+x+4}{3\left(x+4\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{-x^2+12x+4}{\left(x-1\right)\left(x+4\right)}=\frac{4\left(3x-3+x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Rightarrow-x^2+12x+4=4\left(4x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2+12x+4-16x-4=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2-4x=0\)

\(\Leftrightarrow-x\left(x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}-x=0\\x+4=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(tm\right)\\x=-4\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{0\right\}\)

Đặt \(H=\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{zx+yz}+\frac{x+2z}{x+z}\)

\(=\frac{1}{\frac{y^2}{xz}+\frac{yz}{xz}}+\frac{1}{\frac{zx}{y^2}+\frac{yz}{y^2}}+\frac{x+z+z}{x+z}\)

\(=\frac{1}{\frac{y^2}{zx}+\frac{y}{x}}+\frac{1}{\frac{zx}{y^2}+\frac{z}{y}}+\frac{1}{\frac{x}{z}+1}+1\)

Đặt \(\frac{x}{y}=a;\frac{y}{z}=b\Rightarrow ab=\frac{x}{z}\ge1\)

Khi đó \(H=\frac{1}{\frac{b}{a}+\frac{1}{a}}+\frac{1}{\frac{a}{b}+\frac{1}{b}}+\frac{1}{ab+1}+1\)

\(=\frac{a}{b+1}+\frac{b}{a+b}+\frac{1}{ab+1}+1\)

Ta cần chứng minh \(U=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b+1}+1\right)+\left(\frac{b}{a+1}+1\right)+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{7}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b+1}{b+1}+\frac{a+b+1}{a+1}+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{7}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+1\right)\left(\frac{1}{b+1}+\frac{1}{a+1}\right)+\frac{1}{ab+1}\ge\frac{7}{2}\)

Khi đó \(Y=\left(a+b+1\right)\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)+\frac{1}{ab+1}\)

\(\ge\left(a+b+1\right)\cdot\frac{4}{a+b+2}+\frac{1}{ab+1}\)

\(\ge\frac{4\left(a+b+1\right)}{a+b+2}+\frac{1}{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}+1}\)

Đặt \(t=a+b\ge2\sqrt{ab}\ge2\)

Ta cần chứng minh \(\frac{4\left(t+1\right)}{t+2}+\frac{1}{\frac{t^2}{4}+1}\ge\frac{7}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(t-2\right)^3}{2\left(t+2\right)\left(t^2+4\right)}\ge0\) ( đúng )

Vậy ta có đpcm.

ta có:

\(\frac{xz}{y^2+yz}+\frac{y^2}{xz+yz}+\frac{z+2z}{z+x}=\frac{\frac{xz}{yz}}{\frac{y^2}{yz}+1}+\frac{\frac{y^2}{yz}}{\frac{xz}{yz}+1}+\frac{1+\frac{2z}{x}}{1+\frac{z}{x}}\)\(=\frac{\frac{x}{y}}{\frac{y}{z}+1}+\frac{\frac{y}{z}}{\frac{x}{y}+1}+\frac{1+\frac{2z}{x}}{1+\frac{z}{x}}=\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{a^2+1}+\frac{1+2c^2}{1+c^2}\)

trong đó \(a^2=\frac{x}{y};b^2=\frac{y}{z};c^2=\frac{z}{x}\left(a;b;c>0\right)\)

Nhận xét rằng \(a^2\cdot b^2=\frac{x}{z}=\frac{1}{c^2}\ge1\)(do x>=z)

Xét \(\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{a^2+1}+\frac{c^2}{ab+1}\)\(=\frac{a^2\left(a^2+1\right)\left(ab+1\right)+b^2\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)-2aba^2\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\)

\(=\frac{ab\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)+\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(ab+1\right)}\ge0\)

Do đó: \(\frac{a^2}{b^2+1}+\frac{b^2}{a^2+1}\ge\frac{2ab}{ab+1}=\frac{\frac{2}{c}}{\frac{1}{c}+1}=\frac{2}{1+c}\left(1\right)\)đẳng thức xảy ra <=> a=b

khi đó:

\(\frac{2}{1+c}+\frac{1+2c^2}{c^2+1}-\frac{5}{2}=\frac{2\left[2\left(1+c^2\right)+\left(1+c\right)\left(1+2c^2\right)\right]-5\left(1+c\right)\left(1+c^2\right)}{2\left(1+c\right)\left(1+c^2\right)}\)

\(=\frac{1-3c+3c^2-c^3}{2\left(1+c\right)\left(1+c^2\right)}=\frac{\left(1-c\right)^3}{2\left(1+c\right)\left(1+c^2\right)}\ge0\)(do c=<1) (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> a=b, c=1 <=> x=y=z

Gọi x (xe) là số xe của đội lúc đầu (x nguyên dương)

Số tấn hàng mỗi xe dự định chở:\(\frac{120}{x}\)(tấn)

x+4 (xe) là số xe của đội lúc sau

Số tấn hàng mỗi xe khi thực hiện chở \(\frac{120}{x+4}\)(tấn)

Theo bài ra có pt: \(\frac{120}{x}-\frac{120}{x+4}=1\)

Giải phương trình ta được \(\orbr{\begin{cases}x=20\left(tm\right)\\x=-24\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Vậy....

Gọi số tấn hàng mỗi xe cần chở là x  ( 1 < x < 120 ; tấn hàng) 

Theo dự định số xe sẽ là \(\frac{120}{x}\) ( xe) 

Thực tế số hàng phải chở của mỗi xe là: x - 1  (tấn )

Thực tế số xe là: \(\frac{120}{x-1}\)( xe)

Ta có phương trình: \(\frac{120}{x}+2=\frac{120}{x-1}\)

Giải ra ta được  x = 6 ( thỏa mãn) 

Vậy số tấn hàng của mỗi xe chở theo dự định là 6 tấn

Ap dung \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(A\ge\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{x}{y}+\frac{2xy}{x^2+y^2}.\frac{y}{x}+\frac{x}{y}.\frac{y}{x}\)

\(\ge\frac{2x^2}{x^2+y^2}+\frac{2y^2}{x^2+y^2}+1\ge2+1=3\)

Dau "=" xay ra \(\Leftrightarrow x=\pm y\)

A\(=\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\)

\(=\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{x^4+y^4}{x^2y^2}\ge\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}}{x^2y^2}\)

\(=\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4x^2y^2}+\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4x^2y^2}\ge2+\frac{\left(2xy\right)^2}{4x^2y^2}=3\) ( cô si)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^2=y^2\\\frac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}=\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{4x^2y^2}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2=y^2\\16x^2y^2=\left(x^2+y^2\right)^4\end{cases}}\)<=> x = y hoặc x = -y

Vậy minA = 3 tại x = y hoặc x = -y

\(\hept{\begin{cases}\frac{7}{2}+\frac{3y}{x+y}=\sqrt{x}+4\sqrt{y}\left(1\right)\\\left(x^2+y^2\right)\left(x+1\right)=4+2xy\left(x-1\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

ĐK: x>=0; y>=0 và x+y\(\ne\)0 (*)

Ta có (2) <=> \(x^3-2x^2y+xy^2+x^2+y^2+2xy=4\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-y\right)^2+\left(x+y\right)^2=4\)

Từ điều kiện (*) => x(x-y)² >=0; x+y>0

Do đó: (x+y)² =< 4 => 0<x+y =< 2

Từ đó suy ra: \(\frac{7}{2}+\frac{3y}{x+y}\ge\frac{7+3y}{2}\left(3\right)\)

Áp dụng BĐT Cauchy với 2 số không âm ta có:

\(\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2};4\sqrt{y}\le2\left(y+1\right)\)

Cộng 2 vế BĐT trên ta có:

\(\sqrt{x}+4\sqrt{y}\le\frac{x+1}{2}+2\left(y+1\right)=\frac{\left(x+y\right)+5+3y}{2}\le\frac{7+3y}{2}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) => \(\sqrt{x}+4\sqrt{y}\le\frac{7}{2}+\frac{3y}{x+y}\)

Kết hợp với (1) thì đẳng thức xảy ra tức là:

\(\hept{\begin{cases}x+y=2\\x=1\\y=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}}\)(tmđk (*))

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)

\(N=\frac{4x+1}{4x^2+2}\)

<=> \(4x^2N+2N-4x-1=0\)

<=> \(4Nx^2-4x+2N-1=0\)(1)

+) Với N = 0 => x = -1/4

+) Với N khác 0

(1) có: \(\Delta\)= \(2^2-4N\left(2N-1\right)=-8N^2+4N+4\)

Để có min N thì (1) có nghiệm <=> \(\Delta\ge0\)

<=> \(-8N^2+4N+4\ge0\)

<=> \(-\frac{1}{2}\le N\le1\)

Do đó giá trị nhỏ nhất của N = -1/2 

Khi đó: \(-\frac{1}{2}=\frac{4x+1}{4x^2+2}\)

<=> \(-2x^2-1=4x+1\)

<=> \(x^2+2x+1=0\)

<=> x = -1 thử lại thỏa mãn

Vậy gtnn của N = -1/2 đạt tại x = -1.

\(1,a)\hept{\begin{cases}10x-9y=1\\15x+21y=36\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}5x+30y=35\\10x+9y=1\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}10x+60y=70\\10x+9y=1\end{cases}}\)

\(< =>51y=69< =>y=\frac{69}{51}=\frac{23}{17}\)

Thay \(y=\frac{23}{17}\)vào \(10x-9y=1\)có :

\(10x-9y=1\)\(< =>10x=1+\frac{207}{17}=\frac{224}{17}\)

\(< =>x=\frac{224}{170}=\frac{112}{85}\)

Vậy nghiệm của hệ pt trên là \(\left\{\frac{112}{85};\frac{23}{17}\right\}\)

P/s : Số khá xấu nên ko chắc :P

\(b)\hept{\begin{cases}4x+y=2\\8x+3y=5\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}8x+2y=4\\8x+3y=5\end{cases}}\)

\(< =>y=1\)

Thay \(y=1\)vào \(4x+y=2\)có :

\(4x+y=2\)

\(< =>4x=2-1=1< =>x=\frac{1}{4}\)

Vậy nghiệm của hệ pt trên là \(\left\{\frac{1}{4};1\right\}\)

\(c)\hept{\begin{cases}x-y=m\\2x+y=4\end{cases}}\)

\(< =>3x=4+m\)

\(< =>x=\frac{4+m}{3}\)

Thay \(x=\frac{4+m}{3}\)vào \(x-y=m\)có : 

\(x-y=m\)\(< =>\frac{4+m}{3}-\frac{3y}{3}=\frac{3m}{3}\)

\(< =>4+m-3y=3m\)

\(< =>4-3y=2m\)

\(< =>4-2m=3y\)

\(< =>y=\frac{2\left(2-m\right)}{3}\)

Vậy nghiệm của hệ pt trên là \(\left\{\frac{4+m}{3};\frac{2\left(2-m\right)}{3}\right\}\)

\(d)\hept{\begin{cases}3x+2y=6\\x-y=2\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}3x+2y=6\\x=2+y\end{cases}}\)

\(< =>3\left(2+y\right)+2y=6\)

\(< =>6+3y+2y=6\)

\(< =>5y=0< =>y=0\)

Thay \(y=0\)vào \(x-y=2\)có :

\(x-y=2< =>x=2\)

Vậy nghiệm của hệ pt trên là \(\left\{2;0\right\}\)

\(e)\hept{\begin{cases}2x-3y=1\\-4x+6y=2\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}x=\frac{1+3y}{2}\\-4x+6y=2\end{cases}}\)

\(< =>-4\left(\frac{1+3y}{2}\right)+6y=2\)

\(< =>-\frac{4+12y}{2}+\frac{12y}{2}=\frac{4}{2}\)

\(< =>-\left(4+12y\right)+12y=4\)

\(< =>-4-12y-4=-12y\)

\(< =>-8-12y=-12y\)

\(< =>12y=12y+8\)(vô lí)

Nên hệ pt trên vô nghiệm :))

\(f)\hept{\begin{cases}2x+3y=5\\5x-4y=1\end{cases}}\)

\(< =>\hept{\begin{cases}x=\frac{5-3y}{2}\\5x-4y=1\end{cases}}\)

\(< =>5\left(\frac{5-3y}{2}\right)-4y=1\)

\(< =>\frac{25-15y}{2}-\frac{8y}{2}=\frac{2}{2}\)

\(< =>25-15y-8y=2\)

\(< =>25-23y=2\)

\(< =>23y=25-2=23\)

\(< =>y=1\)

Thay \(y=1\)vào \(2x+3y=5\)có :

\(2x+3y=5< =>2x+3=5\)

\(< =>2x=5-3=2< =>x=1\)

Vậy nghiệm của hệ pt trên là \(\left\{1;1\right\}\)

Câu 1 :

a) \(\hept{\begin{cases}10x-9y=1\\15x+21y=36\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}10x-9y=1\\10x+14y=24\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow23y=23\)

\(\Leftrightarrow y=1\)

Thay \(y=1\)vào \(10x-9y=1\)ta được:

\(10x-9=1\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(1;1\right)\)

p/s: mấy câu còn lại chắc ๖ۣۜNhi's Godッ làm ok rồi

\(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1-x}=1\)

<=> \(x+1-x+3\left(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{1-x}\right)\left(\sqrt[3]{x\left(1-x\right)}\right)=1\)

<=> \(x\left(1-x\right)=0\)

<=> x = 0 hoặc x = 1 

Thử vào đều thỏa mãn

Vậy x = 0 hoặc x = 1