\(\hept{\begin{cases}y^6+y^3+2x^2=\sqrt{xy-x^2y^2}\left(1\right)\\4xy^3+y^2+\frac{1}{2}\ge2x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(VP\left(1\right)=\sqrt{\frac{1}{4}-\left(xy-\frac{1}{2}\right)^2}\le\frac{1}{2}\Rightarrow VT\left(1\right)=y^6+y^3+2x^2\le\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^3+4x^2\le1\left(3\right)\)

Từ (2)(3) => \(8xy^3+2y^3+2\ge2y^6+4x^2+4x^2+2\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow8xy^3+2\ge2y^6+8x^2+2\sqrt{2+\left(2x-y\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow4xy^3+1\ge y^6+4x^2+\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\)

\(\Leftrightarrow1-\sqrt{1+\left(2x-y\right)^2}\ge y^6-4xy^3+4x^2=\left(y^3-2x\right)^2\left(4\right)\)

\(VT\left(4\right)\le0;VP\left(4\right)\ge0\). Do đó:

(4) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\y^3=2x\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\y^3=y\end{cases}}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=\frac{-1}{2}\\y=-1\end{cases}}\)

Thử lại chỉ có \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};-1\right)\)thỏa mãn

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(\frac{-1}{2};-1\right)\)

Ta có :

\(P=\frac{\left(x+y\right)^3}{x^3+y^3}+\frac{\left(x+y\right)^3}{xy}=\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)}{xy}\)

\(=1+\frac{3xy}{x^3+y^3}+3+\frac{x^3+y^3}{xy}=4+\left(\frac{3xy}{x^3+y^3}+\frac{x^3+y^3}{xy}\right)\ge4+2\sqrt{3}\)

Vậy GTNN của P là \(4+2\sqrt{3}\) khi = \(\frac{3xy}{x^3+y^3}=\frac{x^3+y^3}{xy}\)và x + y = 1

P/s : tự giải dấu "=" nhé. mình lười ghi

Ta có \(P=\frac{1}{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1-2xy}{xy\left(1-3xy\right)}\)

Theo Cosi \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

Gọi \(P_0\)là một giá trị của P khi đó \(\exists x,y\)để \(P_0=\frac{1-2xy}{xy\left(1-3xy\right)}\Leftrightarrow3P_0\left(xy\right)^2-\left(2+P_0\right)xy+1=0\left(1\right)\)

Để tồn tại x,y thì (1) phải có nghiệm xy \(\Leftrightarrow\Delta=P_0^2-8P_0+4\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}P_0\ge4+2\sqrt{3}\\P_0\le4-2\sqrt{3}\end{cases}}\)

Để ý rằng với giả thiết bài toán thì B>0. Do đó ta có \(P_0\ge4+2\sqrt{3}\)

Với \(P_0=4+2\sqrt{3}\Rightarrow xy=\frac{2+P_0}{6P_0}=\frac{3+\sqrt{3}}{6\left(2+\sqrt{3}\right)}\Rightarrow x\left(1-x\right)=\frac{3+\sqrt{3}}{6\left(2+\sqrt{3}\right)}\)

\(\Leftrightarrow x^2-x+\frac{3+\sqrt{3}}{6\left(2+\sqrt{3}\right)}=0\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2},x=\frac{1-\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2}\)

Vậy \(min_P=4+2\sqrt{3}\)đạt được khi \(\orbr{\begin{cases}x=\frac{1+\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2};y=\frac{1-\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2}\\x=\frac{1-\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2};y=\frac{1+\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}-1}}{2}\end{cases}}\)

A B O M H K C D C' D' M' S T

đây là hình

a) kẻ OM \(\perp\)CD

OM là 1 phần đường kính vuông góc dây CD nên đi qua trung điểm CD

\(\Rightarrow\)MC = MD

dễ thấy AHKB là hình thang vuông có OM là đường trung bình nên MH = MK 

\(\Rightarrow\)CH = DK

b) gọi C',M',D' lần lượt là hình chiếu của C,M,D xuống AB

Ta có : \(\frac{CC'+DD'}{2}=MM'\)

Qua M kẻ đường thẳng // AB cắt AH,BK tại S,T

\(\Delta SHM=\Delta TKM\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow S_{SHM}=S_{TKM}\)

\(\Rightarrow S_{AHKB}=S_{ASTB}\)

Mặt khác :  ASTB là hình bình hành

\(\Rightarrow S_{ASTB}=MM'.AB\)

Mà \(S_{ACB}+S_{ADB}=\frac{CC'.AB}{2}+\frac{DD'.AB}{2}=AB\left(\frac{CC'+DD'}{2}\right)=AB.MM'\)

\(\Rightarrow S_{AHKB}=S_{ACB}+S_{ADB}\)

c) Ta có : \(S_{AHKB}\)max \(\Leftrightarrow MM'\)max 

Xét \(\Delta MM'O\)có : \(MO\ge MM'\)

Mà : \(MO=\sqrt{15^2-9^2}=12\)

\(\Rightarrow MM'\)max =  12

Vậy S_AHKB max = AB .MM' = 360 

a) Ta có : \(E=2+\frac{1}{x^2+2x+4}=2+\frac{1}{\left(x+1\right)^2+3}\) đạt GTLN

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+1\right)^2+3}\)đạt GTLN

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2+3\)đạt GTNN \(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy GTLN của E là \(\frac{7}{3}\)khi x = -1

\(F=\frac{6x-8}{x^2+1}=\frac{\left(x^2+1\right)-\left(x^2-6x+9\right)}{x^2+1}=1-\frac{\left(x-3\right)^2}{x^2+1}\)

F có GTLN \(\Leftrightarrow\frac{\left(x-3\right)^2}{x^2+1}\)có GTNN khi x = 3

Vậy GTLN của F là 1 khi x = 3

Ta có: P = -28/5 < 0 => Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Áp dụng định lí viet ta có: 

\(x_1x_2=-\frac{28}{3}\left(1\right);x_1+x_2=-\frac{m}{5}\left(2\right)\)

Theo đề bài: \(5x_1+2x_2=1\)

<=> \(5\left(x_1+x_2\right)-3x_2=1\)

<=> \(x_2=\frac{-m-1}{3}\)

=> \(x_1+\frac{-m-1}{3}=-\frac{m}{5}\)

<=> \(x_1=\frac{2m}{15}+\frac{1}{3}=\frac{2m+5}{15}\)

Thay vào (1) ta có: \(\frac{-m-1}{3}.\frac{2m+5}{15}=-\frac{28}{5}\)

<=> \(\left(m+1\right)\left(2m+5\right)=252\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}m=-13\\m=\frac{19}{2}\end{cases}}\)

Vậy:...

Xét \(\Delta=m^2-45\cdot\left(-28\right)=m^2+560>0\forall m\)

Khi đó \(x_1=\frac{-m+\sqrt{m^2+560}}{10}\)

\(x_2=\frac{-m-\sqrt{m^2+560}}{10}\)

Khi đó \(5x_1+2x_2=\frac{5\left(-m+\sqrt{m^2+560}\right)+2\left(-m-\sqrt{m^2+560}\right)}{10}=\frac{-7m+3\sqrt{m^2+560}}{10}=1\)

\(\Rightarrow3\sqrt{m^2+560}=10+7m\)

\(\Rightarrow9\left(m^2+560\right)=49m^2+140m+100\)

\(\Rightarrow40m^2+140m-4940=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}m=\frac{19}{2}\\m=-13\end{cases}}\)

\(\Delta=\left(2m-1\right)^2+4m=4m^2+1>0,\forall m\)

=> Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 

Áp dụng định lí viet ta có: \(x_1+x_2=-\left(2m-1\right);x_1.x_2=-m\)

Ta có: \(A=x_1^2+x_2^2-x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\)

\(=\left(2m-1\right)^2+3m=4m^2-m+1\)

\(=\left(2m\right)^2-2.2m.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16}+1\)

\(=\left(2m-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{16}\ge\frac{15}{16}\)

Dấu "=" xảy ra <=> m = 1/8 

Vậy min A = 15/16 khi m = 1/8