Từ gt => \(\hept{\begin{cases}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-x\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-y\right)\ge0\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{2}\sqrt{xy}\left(1\right)\\x\sqrt{x}\le x\cdot\frac{1}{\sqrt{2}};y\sqrt{y}\le y\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x\sqrt{x}+y\sqrt{y}\le\frac{1}{\sqrt{2}}\left(x+y\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

Lại có \(\hept{\begin{cases}\sqrt{xy}\le xy+\frac{1}{4}\\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)\left(3\right)\\\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{xy}\le\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\left(4\right)\end{cases}}}\)

Từ (1)(2)(3) và (4) ta có:

\(x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}\le\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(xy+\frac{1}{4}\right)+\frac{\sqrt{2}}{6}\left(x+y\right)\)

\(\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(1+x+y+xy\right)\)

=> \(VT=\frac{\sqrt{x}}{1+y}+\frac{\sqrt{y}}{1+x}=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}+\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1+x+y+xy}\le\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=\frac{1}{2}\)

\(\frac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\frac{2+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}-\frac{1}{2-\sqrt{3}}\)

\(=\frac{\sqrt{3}.\left(\sqrt{3}+2\right)}{\sqrt{3}}+\frac{\left(2+\sqrt{2}\right).\left(1-\sqrt{2}\right)}{1-2}-\frac{2+\sqrt{3}}{4-1}\)

\(=\sqrt{3}+2-\left(2-2\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\right)-\left(2+\sqrt{3}\right)\)

\(=\sqrt{3}+2-\left(-\sqrt{2}\right)-2-\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{3}+2+\sqrt{2}-2-\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{2}\)

t nghĩ ngoài SOS ra thì không còn lời giải sơ cấp nào khác, nếu Max = 1, không có Wolfram Alpha cũng không chắc lắm.

 Thử pqr xem nào:

\(P=\frac{ab^2+bc^2+ca^2+2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)+6}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)

\(=\frac{\frac{1}{2}\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\frac{1}{2}\Sigma ab\left(a+b\right)+4\left(a+b+c\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)

\(\le\frac{\frac{1}{2}\sqrt{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}+\frac{1}{2}\Sigma ab\left(a+b\right)+4\left(a+b+c\right)}{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}\)

\(=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{-4p^3r+p^2q^2+18pqr-4q^3-27r^2}+\frac{1}{2}\left(pq-3r\right)+4p}{r+2q+4p+8}\le1\)

Có: \(p^2-2q=3\therefore q=\frac{\left(p^2-3\right)}{2}\). Từ đó quy bài toán về chứng minh:

\(\frac{5}{2}r+\frac{\left(14-3p\right)\left(3p+1\right)^2}{108}+\frac{263}{54}\ge\frac{1}{2}\sqrt{-4p^3r+p^2q^2+18pqr-4q^3-27r^2}\)

Vì \(0< p=a+b+c\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\) nên cả 2 vế đều không âm.

Lúc này bất đẳng thức tương đương: 

(Đoạn này gõ Latex, không hiên thì vào thống kê hỏi đáp nhá)

\(\Leftrightarrow f\left(r\right)\ge0\). Mặt khác \(f'\left(r\right)=26r+\frac{\left(-15p+10+2\sqrt{415}\right)\left(15p-10+\sqrt{415}\right)^2}{1350}+\frac{904}{27}-\frac{83\sqrt{415}}{135}>0\)

Nên khi r giảm thi f giảm. Mặt khác do \(\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\ge0\)

Nên \(r\ge\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left(p^2-3q\right)^3}+9pq\right)=\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left\{\frac{\left(9-p^2\right)}{2}\right\}^3}+\frac{9p\left(p^2-3\right)}{2}\right)\)

Vì vậy \(f\left(r\right)\ge f\left(\frac{1}{27}\left(-2p^3-2\sqrt{\left\{\frac{\left(9-p^2\right)}{2}\right\}^3}+\frac{9p\left(p^2-3\right)}{2}\right)\right)\ge0\)

Bác Cool Kid chứng minh BĐT 1 biến ở cuối thử xem:v

Chết, cách kia sai rồi, đánh thiếu số 6 hèn gì không ra -_-