gọi m là 1 giá trị của biểu thức P, Khi đó hệ phương trình sau phải có nghiệm đối với x,y

\(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=36\left(1\right)\\x-y+2004=m\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ ( 2 ) suy ra y = x + 2004 - m

Thế vào ( 2 ),ta được : \(16x^2+9\left(x+2004-m\right)^2=144.36=5184\)

\(\Leftrightarrow25x^2+18\left(2004-m\right)x+9\left(2004-m\right)^2-5184=0\)( 3 )

Hệ PT có nghiệm khi PT ( 3 ) có nghiệm 

\(\Rightarrow\Delta'=\left[9\left(2004-m\right)\right]^2-25\left[9\left(2004-m\right)^2-5184\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(2004-m\right)^2\le900\Leftrightarrow-30\le2004-m\le30\)

\(\Leftrightarrow1974\le m\le2034\)

từ đó tìm được GTNN của P là 1974 khi \(x=\frac{-54}{5};y=\frac{96}{5}\)

GTLN của P là 2034 khi \(x=\frac{54}{5};y=\frac{-96}{5}\)

\(\hept{\begin{cases}3x^2+2y^2=-6\\4x^3+3y^2=-5\end{cases}}\)

Vì \(\hept{\begin{cases}3x^2\ge0\forall x\Rightarrow3x^2+2y^2\ge0\forall x;y\\2y^2\ge0\forall y\Rightarrow3x^2+2y^2\ne-6\left(-6< 0\right)\end{cases}}\)

=> hệ phương trình vô nghiệm

\(\left(x^2+1\right)^2y^2+16x^2+\sqrt{x^2-2x-y^3+9}=8x^3y+8xy\)(*)

Ta có (*) <=> \(\left[\left(x^2+1\right)y-4x\right]^2+\sqrt{x^2-2x-y^2+9}=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x^2+1\right)y-4x=0\\x^2-2x-y^3+9=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}yx^2-4x+y=0\left(1\right)\\x^2-2x-y^3+9=0\left(2\right)\end{cases}}}\)

Nếu y=0 thì từ (1) => x=0, thay vào (2) không thỏa mãn

Nếu y\(\ne\)0 ta coi (1) và (2) là phương trình bậc hai ẩn x

Điều kiện để có nguyên x là: \(\hept{\begin{cases}\Delta_1=4-y^2\ge0\\\Delta_2=y^3-8\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2\le y\le2\\y\ge2\end{cases}\Leftrightarrow}y=2}\)

Thay y=2 vào hệ (1), (2) ta được \(\hept{\begin{cases}2x^2-4x+2=0\\x^2-2x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow x=1}\)

Vậy x=1; y=2

đoạn cuối là m + 1 hay  m + 11 vậy bạn

Xét 

\(\Delta'=\left(m-3\right)^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right)=m^2-6m+9-m^2-1=-6m+7\ge0\)

\(\Rightarrow m\le\frac{7}{6}\)

Theo Viete ta có:\(x_1+x_2=\frac{2\left(m-3\right)}{m-1}\left(1\right);x_1x_2=\frac{m+1}{m-1}\)

\(\Leftrightarrow x_1x_2\left(m-1\right)=m+1\Leftrightarrow x_1x_2m-m=1+x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow m\left(x_1x_2-1\right)=1+x_1x_2\Leftrightarrow m=\frac{1+x_1x_2}{x_1x_2-1}\)

Thay vào ( 1 ) rồi rút gọn là OK nhá,nhác ko muốn tính :))