\(x^3+3x^2-2x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^3-2x\right)+\left(3x^2-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x^2-2\right)+3\left(x^2-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)\left(x^2-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+3=0\\x^2-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-3\\x^2=2\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{2}\end{cases}}}\)

Vậy Tập nghiệm của phương trình trên là:\(S=\left\{-3;\pm\sqrt{2}\right\}\)

\(\sqrt{x-2+2\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+10+6\sqrt{x+1}}=2\sqrt{x+2+2\sqrt{x+1}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+1}+1+\left|\sqrt{x+1}-3\right|=2\cdot\left|\sqrt{x+1}-1\right|\)

Đặt \(y=\sqrt{x+1}\left(y\ge0\right)\)PT đã cho trở thành

\(y+1+\left|y-3\right|=2\left|y-1\right|\)

Nếu \(0\le y\le1:y+1+3-y=2-2y\Leftrightarrow y=-1\)(loại)

Nếu \(1\le y\le3:y+1+3-y=2y-2\Leftrightarrow y=3\)

Nếu y>3: y+1-y-3=2y-2 (vô nghiệm)

Với y=3 <=> x+1=9 <=> x=8

Vậy pt có 1 nghiệm x=8

Vì x,y là số thực dương nên theo BĐT Cosi ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}\) Dấu "=" xảy ra <=> x=y hay x+x+x²=15 => x=y=3

GT: x+y+xy=15 => xy=15-(x+y)

Do đó: \(P=x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy=\left(x+y\right)^2-30+2\left(x+y\right)\ge\left(2\sqrt{xy}\right)^2-30+2\cdot2\sqrt{xy}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=3

Vậy \(min_P=4\cdot3^2-30+4\cdot3=18\Leftrightarrow x=y=3\)