\(A=x^2+xy+y^2-4x-5y+2021\)

\(4A=4x^2+4xy+4y^2-16x-20y+8084\)

\(=\left(2x+y\right)^2-8\left(2x+y\right)+3y^2-12y+8084\)

\(=\left(2x+y-4\right)^2+3\left(y-2\right)^2+8056\ge8056\)

\(\Rightarrow A\ge2014\)

Đẳng thức xảy ra tại \(x=1;y=2\)

\(A=x^2+xy+y^2-4x-5y+2021\)

\(=\left(x^2+xy-4x\right)+y^2-5y+2021\)

\(=\left[x^2+2.x\left(y-4\right)\frac{1}{2}+\frac{\left(y-4\right)^2}{4}\right]-\frac{\left(y-4\right)^2}{4}+y^2-5y+2021\)

\(=\left(x+\frac{y-4}{2}\right)^2+\frac{3}{4}y^2-3y+2017\)

\(=\left(x+\frac{y-4}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y^2-2.y.2+4\right)+2014\)

\(=\left(x+\frac{y-4}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-2\right)^2+2014\ge2014\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 1; y = 2

Vậy min A = 2014 tại x = 1; y =2.

\(A=x^2+y^2+z^2\le\left(x+y+z\right)^2=9\)

gtln của A = 9

Với  \(x=y=z=1\)

easy không ? =)

Có 0 <= x,y,z      =>   xyz >= 0                           

Có x,y,z <=2       => (2-x)(2-y)(2-z)>=0        =>  8 - 4(x+y+z) + 2(xy+yz+zx) -xyz >=0

Từ đó => 8 - 4(a+b+c) +2(ab+bc+ca)>=0

=> 8 - 4(a+b+c) + (a+b+c)^2 >= a^2+b^2+c^2

=> 8 -4.3 +3^2 >=A   (vì x+y+z=3)

=> 5>= A

Dấu "=" xảy ra khi x=2,y=1,z=0

Vậy Max A =5 khi x=2,y=1,z=0

\(\hept{\begin{cases}x^2+8=xy^2+2x\left(1\right)\\y^2+8=x^2y+2y\left(2\right)\end{cases}}\)

Xét: \(x^2+8=xy^2+2x\)

<=> \(x\left(y^2+2\right)=x^2+8\ge8>0\)mà \(y^2+2>0\) với mọi x; y 

=> \(x>0\)tương tự \(y>0\)(3) 

Xét \(x^2+8=xy^2+2x\)

<=> \(y^2+2=x+\frac{8}{x}\ge2\sqrt{8}\)<=> \(y^2\ge2\sqrt{8}-2\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}y\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\\y\le-\sqrt{2\sqrt{8}-2}\end{cases}}\)tương tự \(\orbr{\begin{cases}x\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\\x\le-\sqrt{2\sqrt{8}-2}\end{cases}}\)(4) 

Từ (3) và (4) => \(x;y\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\)(@@)

Lấy (1) - ( 2) ta có: \(x^2-y^2=xy^2-x^2y+2x-2y\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)+xy\left(x-y\right)-2\left(x-y\right)=0\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y+xy-2\right)=0\)(5)

Với \(x;y\ge\sqrt{2\sqrt{8}-2}\) ta có: \(x+y+xy-2>0\)

Do đó: (5) <=> x = y 

Thế vào (1) ta có: \(x^3-x^2+2x-8=0\Leftrightarrow x=2\)thỏa mãn (@@) 

Vậy:...

Ta có: 

\(\left(a-b\right)^2\ge0;\forall a;b\)

<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)

=> \(x^2+1\ge2x;y^2+1\ge2y\) với mọi x; y

=> \(x^2+y^2+2\ge2x+2y\)

Đặt: \(\sqrt[3]{6x-9}=t\Leftrightarrow t^3=6x-9\)

Ta có hệ: 

\(\hept{\begin{cases}x^3=6t-9\\t^3=6x-9\end{cases}}\)

=> \(x^3-t^3=-6\left(x-t\right)\)

<=> \(\left(x-t\right)\left(x^2+xt+t^2+6\right)=0\)

<=> x = t 

vì \(x^2+xt+\frac{1}{4}t^2+\frac{3}{4}t^2+6=\left(x+\frac{1}{2}t\right)^2+\frac{3}{4}t^2+6>0\)

Với x = t ta có: \(\sqrt[3]{6x-9}=x\Leftrightarrow x^3=6x-9\)

<=> x = -3 thử lại thỏa mãn 

Kết luận:...

Đặt \(\sqrt{x+3}=t\left(t\ge0\right)\)

\(\sqrt{3x+4+\sqrt{x+3}}=1+2\sqrt{x+3}-\sqrt{3x+3+\sqrt{x+3}}\)

\(< =>\sqrt{\left(x+3\right)+2x+t+1}=1.2t-\sqrt{\left(x+3\right)+2x+t}\)

\(< =>\sqrt{t^2+t+2x+1}=2t-\sqrt{t^2+t+2x}\)

\(< =>2t=\sqrt{t^2+t+2x+1}+\sqrt{t^2+t+2x}\)

Đặt \(t^2+t+2x=p\)

\(< =>2t=\sqrt{p+1}+\sqrt{p}\)

Nhờ cao nhân giải tiếp =))

Áp dụng hệ thức Vi-ét,ta có :

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=7\\x_1x_2=-3\end{cases}}\)

a) Ta có : \(x_1^3+x_2^3=\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2-x_1x_2+x_2^2\right)=\left(x_1+x_2\right)\left[\left(x_1+x_2\right)^2-3x_1x_2\right]\)

\(=7\left(7^2-3.\left(-3\right)\right)=406\)

b) 

đề đúng chưa