Những bài toán nâng cao lớp 7
A. PHẦN ĐẠI SỐ
Bài toán 1. So sánh: 
và 
Bài toán 2. Tính tỉ số 
biết:
Bài toán 3. Cho x, y, z, 
Chứng minh rằng: 
có giá tri không phải là số tư nhiên.
Bài toán 4. Tìm x ; 
biết:
)
b. 
c. x+y+9=xy-7
Bài toán 5. Tìm x biết
a%7C%2B%7C2(2%20x%2B3)%7C%2B%7C2%20x%2B3%7C%3D16)
b. 
Bài toán 6. Chứng minh rằng: 
thì 
chia hết cho 4 .
Bài toán 7. Cho n số x1, x2, ..., xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3 + ...+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4.
Bài toán 8 . Chứng minh rằng:
Bài toán 9. Tính giá tri của biểu thức 
giả sử 
Bài toán 10. Tìm max của biểu thức: 
Bài toán 11. Cho 
là các số dương. Chứng minh rằng
Bài toán 12. Tìm tổng các hê số của đa thức nhân đươc sau khi bỏ dấu ngoăc trong biểu thức:
%3D(3%20-%0A%5Cleft.4%20x%2Bx%5E%7B2%7D%5Cright)%5E%7B2004%7D%20%5Ccdot%5Cleft(3%2B4%20x%2Bx%5E%7B2%7D%5Cright)%5E%7B2005%7D)
Bài toán 13. Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn: 
và 
Bài toán 14. Cho 
. Tính giá tri của biểu thức:
Bài toán 15. Rút gọn biểu thức:
Bài toán 16. Trong 3 số x, y, z có 1 số dương, 1 số âm và một số 0 . Hỏi mỗi số đó thuộc loài nào biết: 
Bài toán 17. Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau: 
Bài toán 18. Cho 3 
. Tìm min của biểu thức: 
Bài toán 19. Tìm x, y, z biết:
Bài toán 20. Tìm x, y biết rằng: 
Bài toán 21. Cho a là số gồm 2n chữ số 1, 
là số gồm 
chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng 
là số chính phương.
Bài toán 22. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho 
là số chính phương.
Bài toán 23. Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện 
thì 
Bài toán 24. Tìm phân số 
khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng
Bài toán 25. Cho hai số tự nhiên a và )
. Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7 , mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
Bài toán 26. Chứng minh rằng:
là số chính phương (n lẻ).
Bài toán 27. Tìm n biết rằng: 
chia hết cho 
Bài toán 28. Chứng minh rằng: 
là hợp số với mọi số nguyên dương n
Bài toán 29. Tìm số dư khi chia%5E%7B111%7D.%20(n%20%5Cleft.%5E%7B2%7D-1%5Cright)%5E%7B333%7D)
cho n
Bài toán 30. Tìm số tự nhiên n để 
chia hết cho 5 .
Bài toán 31 .
a. Chứng minh rằng: Nếu a không là bội số của 7 thì 
chia hết cho 7 .
b. Cho %5Cleft(%5Cmathrm%7Bx%7D%5E%7B2%7D-1%5Cright)%3D%5Cmathrm%7Bf%7D(%5Cmathrm%7Bx%7D)%5Cleft(%5Cmathrm%7Bx%7D%5E%7B2%7D%2B9%5Cright))
có ít nhất 4 nghiệm.
c. Chứng minh rằng: 
chia hết cho 10 .
Bài toán 32. Tính giá trị của biểu thức: 
tai %2B(%5Cmathrm%7By%7D-%5Cmathrm%7Bz%7D)%5E%7B2%7D%3D16.)
Bài toán 33. Chứng minh rằng:
a. )
là một số nguyên.
không thể là số nguyên.
c. Khi viết dưới dạng thập phân thì số hữu tỉ %5E%7B2004%7D)
có ít nhất 4000 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phẩy
HET .................................
Bài 1:
Gọi a,b,c,d (giây) lần lượt là thời gian vật chuyển động trên cạnh thứ nhất, thứ hai, thứ 3 và thứ 4
Theo đề: a + b + c + d = 59 và 5a = 5b =4c = 3d
\(\Rightarrow\frac{5a}{60}=\frac{5b}{60}=\frac{4c}{60}=\frac{3d}{60}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{12}=\frac{b}{12}=\frac{c}{15}=\frac{d}{20}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:
\(\frac{a}{12}=\frac{b}{12}=\frac{c}{15}=\frac{d}{20}=\frac{a+b+c+d}{12+12+15+20}=\frac{59}{59}=1\)
Ta có: \(\frac{a}{12}=1\Rightarrow a=12\)
Cạnh hình vuông chính là quãng đường của vật đi được \(\Rightarrow12.5=60\)
Vậy cạnh hình vuông là 60m
Bài 2: Bn tham khảo hình ảnh :
Bài 3:
Ta có:
\(25-y^2=8\left(x-2009\right)^2\)
\(\Rightarrow8\left(x-2009\right)^2=25-y^2\)
Vì \(y^2\ge0\Rightarrow\left(x-2009\right)^2=25-y^2\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-2009\right)^2=0\\\left(x-2008\right)^2=1\end{cases}}\)
Với \(\left(x-2009\right)^2=1\Leftrightarrow y^2=17\Rightarrow y=\sqrt{17}\) ( loại )
Với \(\left(x-2009\right)^2=0\Leftrightarrow y^2=25\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2009\\y=5\end{cases}}\)
Vậy: \(\hept{\begin{cases}x=2009\\y=5\end{cases}}\)