\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{-1}{c}\Rightarrow\frac{a+b}{ab}=\frac{-1}{c}\)

\(\Rightarrow a+b=\frac{-ab}{c}\)

Tương tự : \(b+c=\frac{-bc}{a};a+c=\frac{-ac}{b}\)

thay vào A,ta được :

\(A=\frac{\frac{-ab}{c}.\frac{-bc}{a}.\frac{-ac}{b}}{abc}=\frac{-a^2b^2c^2}{abc}=-abc\)

nhầm đoạn cuối : \(A=\frac{-a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=-1\)

Ta có :  \(\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\)

Như vậy, cần chứng minh :

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8abc\)

Áp dụng BĐT Cô-si,ta có : 

\(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};a+c\ge2\sqrt{ac}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Dấu"=" xảy ra khi a = b = c

Đặt a+b=x, ab=y => y=3-x

Ta có \(VT=\frac{x^2+3x-2y}{y+3x+9}+\frac{y}{x}=\frac{x^2+3x-2\left(3-x\right)}{3-x+3x+9}+\frac{3-x}{x}\)

\(=\frac{x^2+5x-6}{2x+12}+\frac{3}{x}-1=\frac{\left(x-1\right)\left(x+6\right)}{2\left(x+6\right)}+\frac{3}{x}-1\)

\(=\frac{x-1}{2}+\frac{3}{x}-1=\frac{x}{2}+\frac{3}{x}-\frac{3}{2}\)

\(=\frac{\left(x^2-3x+6\right)}{2x}=\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)+2x}{2x}\)

\(=\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{2x}+1\le1\)

Dấu "=' xảy ra khi a=b=1

Bổ sung: 

Đặt: a + b = x; ab = y => x, y > 0 

=> x + y = 3 <=> y = 3- x > 0 => 0 < x < 3

Và a, b  là nghiệm của phương trình: X^2 -xX +y = 0 

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: \(x^2-4y\ge0\)<=> \(x^2\ge4y=4\left(3-x\right)\)

<=> \(x^2+4x-12\ge0\)

<=> \(\left(x-2\right)\left(x+6\right)\ge0\)

<=> \(x\ge2\)

Vậy: \(2\le x< 3\)

=> \(\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{2x}\le0\)

( quay trở lại bài bạn Linh )

=> \(\frac{\left(x-2\right)\left(x-3\right)}{2x}+1\le1\)

Vậy: \(\frac{a}{b+3}+\frac{b}{a+3}+\frac{ab}{a+b}\le1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = 2 ; y = 1 

khi đó: a = b = 1

Vừa lm xong mt bị sụp ... 

\(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{3x+5}=\frac{2}{x+2}+\frac{1}{x+3}\)ĐKXĐ : \(x\ne1;-\frac{5}{3};-2;-3\)

\(\frac{1}{x-1}+\frac{3}{3x+5}-\frac{2}{x+2}-\frac{1}{x+3}=0\)

\(\frac{\left(3x+5\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{\left(x-1\right)\left(3x+5\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}+\frac{3\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{\left(3x+5\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}-\frac{2\left(x-1\right)\left(3x+5\right)\left(x+3\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(3x-5\right)\left(x+3\right)}-\frac{\left(x-1\right)\left(3x+5\right)\left(x+2\right)}{\left(x+3\right)\left(x-1\right)\left(3x+5\right)\left(x+2\right)}=0\)

Khử mẫu và rút gọn ta đc : \(-3x^3+2x^2+45x+52=0\)

Mời cao nhân giải tiếp.

Bài cuối có Max nữa nhé, cần thì ib mình làm cho.

Giả sử \(c=min\left\{a;b;c\right\}\Rightarrow c\le1< 2\Rightarrow2-c>0\)

Ta có:\(P=ab+bc+ca-\frac{1}{2}abc=\frac{ab}{2}\left(2-c\right)+bc+ca\ge0\)

Đẳng thức xảy ra tại \(a=3;b=0;c=0\) và các hoán vị

3/ \(P=\Sigma\frac{\left(3-a-b\right)\left(a-b\right)^2}{3}+\frac{5}{2}abc\ge0\)