có \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)A\left(x\right)+5\)

\(f\left(x\right)=\left(x^2+1\right)B\left(x\right)+x+2\)

do f(x) chia cho \(\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)\)là bậc 3 nên số dư là bậc 2. ta có \(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)C\left(x\right)+ax^2+bx+c=\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)C\left(x\right)+a\left(x^2+1\right)+bx+c-a\)

\(=\left(x^2+1\right)\left(C\left(x\right).x+C\left(x\right)+a\right)+bx+c-a\)

Vậy \(bx+c-a=x+2\Rightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\c-a=2\end{cases}}\)

mặt khác ta có \(f\left(-1\right)=5\Leftrightarrow a-b+c=5\Rightarrow a+c=6\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=2\\c=4\end{cases}}\)

vậy số dư trong phép chia f(x) cho \(x^3+x^2+x+1\)là \(2x^2+x+4\)

a) ( x² - x )( x² + 3x + 2 ) = 24

<=> x( x - 1 )( x + 1 )( x + 2 ) - 24 = 0

<=> [ x( x + 1 ) ][ ( x - 1 )( x + 2 ) ] - 24 = 0

<=> ( x² + x )( x² + x - 2 ) - 24 = 0

Đặt t = x² + x

pt <=> t( t - 2 ) - 24 = 0

<=> t² - 2t - 24 = 0

<=> t² - 6t + 4t - 24 = 0

<=> t( t - 6 ) + 4( t - 6 ) = 0

<=> ( t - 6 )( t + 4 ) = 0

<=> ( x² + x - 6 )( x² + x + 4 ) = 0

<=> ( x² - 2x + 3x - 6 )( x² + x + 4 ) = 0

<=> ( x - 2 )( x + 3 )( x² + x + 4 ) = 0

Vì x² + x + 4 = ( x² + x + 1/4 ) + 15/4 = ( x + 1/2 )² + 15/4 ≥ 15/4 > 0 ∀ x

=> x - 2 = 0 hoặc x + 3 = 0

=> x = 2 hoặc x = -3

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 2 ; -3 }

b) ( x - 1 )( x - 2 )( x - 4 )( x - 5 ) = 40

<=> [ ( x - 1 )( x - 5 ) ][ ( x - 2 )( x - 4 ) ] - 40 = 0

<=> ( x² - 6x + 5 )( x² - 6x + 8 ) - 40 = 0

Đặt t = x² - 6x + 5

pt <=> t( t + 3 ) - 40 = 0

<=> t² + 3t - 40 = 0

<=> t² - 5t + 8t - 40 = 0

<=> t( t - 5 ) + 8( t - 5 ) = 0

<=> ( t - 5 )( t + 8 ) = 0

<=> ( x² - 6x + 5 - 5 )( x² - 6x + 5 + 8 ) = 0

<=> x( x - 6 )( x² - 6x + 13 ) = 0

Vì x² - 6x + 13 = ( x² - 6x + 9 ) + 4 = ( x - 3 )² + 4 ≥ 4 > 0 ∀ x

=> x = 0 hoặc x - 6 = 0

=> x = 0 hoặc x = 6

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 0 ; 6 }

( 3x + 5 )² - 4( x - 3 )² = 0

<=> ( 3x + 5 )² - 2²( x - 3 )² = 0

<=> ( 3x + 5 )² - [ 2( x - 3 ) ]² = 0

<=> ( 3x + 5 )² - ( 2x - 6 )² = 0

<=> ( 3x + 5 - 2x + 6 )( 3x + 5 + 2x - 6 ) = 0

<=> ( x + 11 )( 5x - 1 ) = 0

<=> x + 11 = 0 hoặc 5x - 1 = 0

<=> x = -11 hoặc x = 1/5

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { -11 ; 1/5 }

\(\left(3x+5\right)^2-4\left(x-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+5\right)^2-\left(2x-6\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left[\left(3x+5\right)-\left(2x-6\right)\right].\left[\left(3x+5\right)+\left(2x-6\right)\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+5-2x+6\right)\left(3x+5+2x-6\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+11\right)\left(5x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+11=0\\5x-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-11\\5x=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-11\\x=\frac{1}{5}\end{cases}}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{-11;\frac{1}{5}\right\}\)

x² - 3x + 5 = y²

<=> 4x² - 12x + 20 = 4y²

<=> 4y² - (2x - 3)² = 11

<=> (2y - 2x + 3)()2y + 2x - 3) = 11 = 1.11 = -1.-11

Lập bảng (tự lập và tự tính)

9 - | -5x | + 2x = 0

<=> 9 - | -( -5x ) | + 2x = 0

<=> 9 - | 5x | + 2x = 0

Xét hai trường hợp :

+) x < 0 => | 5x | = -5x

Khi đó pt <=> 9 - ( -5x ) + 2x = 0

<=> 9 + 5x + 2x = 0

<=> 7x + 9 = 0

<=> x = -9/7 ( tm )

+) x ≥ 0 => | 5x | = 5x

Khi đó pt <=> 9 - 5x + 2x = 0

<=> -3x + 9 = 0

<=> x = 3 ( tm )

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { -9/7 ; 3 }

\(9-\left|-5x\right|+2x=0\)

\(\Rightarrow\left|-5x\right|+2x=9\)

\(\Rightarrow\left|-5x\right|=9-2x\)

\(\Rightarrow-5x=9-2x\)hoặc \(-5x=-9+2x\)

\(-5x+2x=9\)            \(-5x-2x=-9\)

\(-3x=9\)                           \(-7x=-9\)

\(\Rightarrow x=-3\)                           \(x=\frac{9}{7}\)

Vậy \(x\in\left\{-3;\frac{9}{7}\right\}\)

Chúc bạn học tốt

Đk: x \(\ne\)0; x \(\ne\)\(\pm\)3

Ta có: A = \(\left(\frac{1}{3}+\frac{3}{x^2-3x}\right):\left(\frac{x^2}{27-3x^2}+\frac{1}{x+3}\right)\)

A = \(\frac{x^2-3x+9}{3x\left(x-3\right)}:\frac{x^2+3\left(3-x\right)}{3\left(x+3\right)\left(3-x\right)}\)

A = \(\frac{x^2-3x+9}{3x\left(x-3\right)}\cdot\frac{3\left(3-x\right)\left(x+3\right)}{x^2-3x+9}\)

A = \(\frac{-\left(x+3\right)}{x}\)

Để A < -1 <=> \(-\frac{\left(x+3\right)}{x}< -1\) <=> \(\frac{-x-3}{x}+1< 0\)

<=> \(\frac{-x-3+x}{x}< 0\) <=> \(-\frac{3}{x}< 0\) 

Do -3 <0 => x> 0

Vậy Để A < -1 <=> x > 0 và x khác 3

a) Ta có : \(AC=\frac{3}{8}.CE\)

\(\Leftrightarrow AE-CE=\frac{3}{8}.CE\)

\(\Leftrightarrow\frac{AE-CE}{CE}=\frac{3}{8}\)

\(\Leftrightarrow8AE-8CE=3CE\)

\(\Leftrightarrow8AE=11CE\)

\(\Leftrightarrow\frac{AE}{CE}=\frac{11}{8}\)

mà \(\frac{AD}{BD}=\frac{11}{8}\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{CE}=\frac{AD}{BD}\)

\(\Rightarrow BC//DE\)( định lý Ta lét đảo )

b) Xét \(\Delta DAE\)có BC // DE : theo hệ quả của định lý Ta lét ta có :

\(\frac{AD}{BD}=\frac{DE}{BC}\)mà \(\frac{AD}{BD}=\frac{11}{8}\)

\(\Rightarrow\frac{11}{8}=\frac{DE}{3}\)

\(\Rightarrow DE=\frac{3.11}{8}\)

\(\Rightarrow DE=\frac{33}{8}\left(cm\right)\)

ta có phương trình tương đương

\(4x^2-10x-6=0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-2.2.\frac{5}{2}x+\frac{25}{4}=\frac{49}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-\frac{5}{2}\right)^2=\left(\frac{7}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}\\2x-\frac{5}{2}=-\frac{7}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-\frac{1}{2}\end{cases}}}\)

vậy phương trình có hai nghiệm như trên

-2x² + 5x + 3 = 0

<=> -2x² + 6x - x + 3 = 0

<=> -2x( x - 3 ) - ( x - 3 ) = 0

<=> ( x - 3 )( -2x - 1 ) = 0

<=> x - 3 = 0 hoặc -2x - 1 = 0

<=> x = 3 hoặc x = -1/2

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 3 ; -1/2 }