Bài làm:

Ta có: \(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\)

\(=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}+\frac{a^2}{c+a}\)

\(=\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\right)\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)(Cauchy Schwars)

\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được 

\(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}+\frac{c^2+a^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2\left(a+b\right)}+\frac{\left(b+c\right)^2}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(c+a\right)^2}{2\left(c+a\right)}\)

                                                        \(\ge\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}\ge\frac{12\left(ab+bc+ca\right)}{4\left(a+b+c\right)}=\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{a+b+c}\)( rút gọn 12/4)

   Bất đẳng thức được chứng minh 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Lời giải

Các tỉ số lượng giác của góc β là:

mik nhầm nhé

bạn có thể dùng bđt phụ này :

\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

và đây là cách chứng minh 

Bất đẳng thức tương đương :

\(a^2+b^2+a^2+b^2\ge a^2+b^2+2ab\)

\(< =>a^2+b^2\ge2ab\)

\(< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*