giả sử tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{B}=\alpha=45^o\), kẻ trung tuyến AM

do \(\alpha< 45^o\Rightarrow2\alpha< 90^o\)và \(\widehat{C}=90^o-\alpha>45^o>\widehat{B}\)

tam giác ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên \(MA=MB=MC=\frac{BC}{2};\widehat{AMC}=2\alpha\)(theo tính chất góc ngoài)

hạ HA _|_ BC trong tam giác AHM vuông tại M ta có \(\sin\alpha=\frac{AH}{AM}=\frac{2AH}{BC}\left(1\right)\)

trong tam giác AHB vuông tại H ta có \(\sin\alpha=\frac{AH}{AB}\left(2\right)\)

trong tam giác ABC vuông tại A ta có \(\sin\alpha=\frac{AB}{BC}\left(3\right)\)

từ (1) (2) và (3) => \(\sin2\alpha=2\cdot\frac{AH}{AB}\cdot\frac{AB}{BC}=2\sin\alpha\cos\alpha\)

tam giác AHM vuông tại H ta có \(\cos2\alpha=\frac{HM}{AM}=\frac{2HM}{BC}\left(4\right)\)

\(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{AB^2}{BC^2}-\frac{AC^2}{BC^2}=\frac{HB\cdot BC-HC\cdot BC}{BC^2}=\frac{HB-HC}{BC}=\frac{2HM}{BC}\left(5\right)\)

từ (4) và (5) suy ra \(\sin2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\)

Ta có : \(\left(\sqrt{a^2+2011}+a\right).\left(\sqrt{a^2+2011}-a\right)\)

\(=\left(\sqrt{a^2+2011}\right)^2-a^2\)

\(=a^2+2011-a^2=2011\)

Nên : \(\left(\sqrt{a^2+2011}+a\right).\left(\sqrt{a^2+2011}-a\right)=2011\)

Mà theo bài ta có : \(\left(\sqrt{a^2+2011}+a\right).\left(\sqrt{a^2+2011}+b\right)=2011\)

Nên : \(\sqrt{a^2+2011}+b=\sqrt{a^2+2011}-a\) ( đpcm )

Đặt \(A=2\sqrt{3}\left(2\sqrt{6}-\sqrt{3}+1\right)\)

\(A=4\sqrt{18}-2.3+2\sqrt{3}\)

\(A=12\sqrt{2}+2\sqrt{3}-6\)

ta có : căn bậc của 4 lớn hơn căn bậc của 3

hay 2 lớn hơn căn bậc hai của 3

nên căn bậc hai của 3 trừ 2 ra kết quả âm

mà căn bậc của 0,5 là kết quả dương

vậy căn bậc của 0,5 > căn bậc của căn bậc hai của 3 trừ 2

ráng đọc tí nghen, mình ko biết cách viết căn bậc ra sao  

\(\sqrt{2}D=\left(\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{4+\sqrt{7}}+\sqrt{8}\right)\sqrt{2}\)

\(\sqrt{2}D=\sqrt{\left(\sqrt{7}-1\right)^2}-\sqrt{\left(\sqrt{7}+1\right)^2}+4\)

\(\sqrt{2}D=\sqrt{7}-1-\sqrt{7}-1+4\)

\(\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(1-\frac{1}{b}\right)=1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\le1-\frac{1}{2\sqrt{ab}}+\frac{1}{ab}\)

Ta có:\(4=a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le2\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{ab}}\ge2\)

Đặt \(x=\frac{1}{\sqrt{ab}}\ge2\Rightarrow A=1-\frac{a}{2}+a^2\) đạo hàm  phát ra ngay nè <3 

Cach khac: a+b>= 2 căn ab => 4 >= 2 căn ab => 4>= ab

\(A=\left(1-\frac{1}{a}\right).\left(1-\frac{1}{b}\right)=1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\)

Ta có: \(1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}-\frac{1}{4}\)

\(=\frac{ab-4}{ab}-\frac{ab-4}{4ab}\left(a+b=4\right)\)

\(=\left(ab-4\right).\frac{3}{4}ab\le0\left(a,b>0;4\ge ab\right)\)

\(\Rightarrow A=1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}\le\frac{1}{4}\)

Dấu = xr khi a=b=4/2=2

Vậy Max A=1/4 đạt tại a=b=2

Bài làm:

đkxđ: \(x,y\ge0;x\ne y\)

Ta có: \(\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-x+2\sqrt{xy}-y\)

\(=x-\sqrt{xy}+y-x+2\sqrt{xy}-y\)

\(=\sqrt{xy}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x}\right)^3+\left(\sqrt{y}\right)^3}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\left(x+y-2\sqrt{xy}\right)=\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\left(x+y-2\sqrt{xy}\right)\)

\(\Leftrightarrow x-\sqrt{xy}+y-\left(x+y-2\sqrt{xy}\right)=\sqrt{xy}\)