Đề sai rồi nha bạn ơi

Vào TKHĐ để xem bằng chứng :3

\(a+\frac{4\: a^3}{\left(a\: -1\right)\left(a+1\right)^3}\)>3

Mình nhầm

Bài làm:

đk: \(x\ge0;x\ne1\)

Ta có:

\(A=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right)\cdot\frac{\left(1-x\right)^2}{2}\)

\(A=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\cdot\frac{\left(x-1\right)^2}{2}\)

\(A=\frac{x-\sqrt{x}-2-x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)^2}\cdot\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{2}\)

\(A=\frac{-2\sqrt{x}\cdot\left(\sqrt{x}-1\right)}{2}\)

\(A=\left(1-\sqrt{x}\right)\sqrt{x}=\sqrt{x}-x\)

ai giúp vs

Đương làm thì lại nhấn hủy TvT

Bài 1.

a) \(\sqrt{\left(4-3\sqrt{2}\right)^2}\)

\(=\left|4-3\sqrt{2}\right|\)

\(=-\left(4-3\sqrt{2}\right)=3\sqrt{2}-4\)( vì \(3\sqrt{2}>4\))

b) \(\sqrt{\left(\sqrt{3-1}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{3-2}\right)^2}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2}+\sqrt{1^2}\)

\(=\left|\sqrt{2}\right|+\left|1\right|\)

\(=\sqrt{2}+1=1+\sqrt{2}\)

Bài 2.

Sửa VP = \(\left(\sqrt{5}+2\right)^2\)

VT = \(5+4\sqrt{5}+4=\left(\sqrt{5}\right)^2+2\cdot2\cdot\sqrt{5}+2^2=\left(\sqrt{5}+2\right)^2\)= VP ( đpcm )

Còn ý b) em chưa làm được :((

cos\(60^0\)=sin(\(90^0-60^0\))=sin30⁰cos⁡60⁰=sin⁡(90⁰−60⁰)=sin⁡30⁰

Vì 30⁰<45⁰⇒sin30⁰<sin45⁰

⇒sin45⁰>cos6⁰

Áp dụng giả thiết và một đánh giá quen thuộc, ta được: \(16\left(a+b+c\right)\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{abc\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{ab+bc+ca}\)hay \(\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\le\frac{8}{9}\)

Đến đây, ta cần chứng minh \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)

 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta có \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}=a+b+\sqrt{\frac{a+c}{2}}+\sqrt{\frac{a+c}{2}}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}}\)hay \(\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3\ge\frac{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+b+2\sqrt{a+c}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

Hoàn toàn tương tự ta có \(\frac{1}{\left(b+c+2\sqrt{b+a}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(b+c\right)\left(b+a\right)}\); \(\frac{1}{\left(c+a+2\sqrt{c+b}\right)^3}\le\frac{2}{27\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được \(\frac{1}{\left(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(b+c+\sqrt{2\left(b+a\right)}\right)^3}+\frac{1}{\left(c+a+\sqrt{2\left(c+b\right)}\right)^3}\le\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được \(\frac{4\left(a+b+c\right)}{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\frac{1}{6\left(ab+bc+ca\right)}\)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)\)

Đây là một đánh giá đúng, thật vậy: đặt a + b + c = p; ab + bc + ca = q; abc = r thì bất đẳng thức trên trở thành \(pq-r\ge\frac{8}{9}pq\Leftrightarrow\frac{1}{9}pq\ge r\)*đúng vì \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\); \(ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\))

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{4}\)

a) \(A=\left(1-\sqrt{18}+\sqrt{32}\right).\sqrt{3-2\sqrt{2}}\)

\(=\left(1-\sqrt{9.2}+\sqrt{16.2}\right).\sqrt{2-2\sqrt{2}+1}\)

\(=\left(1-\sqrt{9}.\sqrt{2}+\sqrt{16}.\sqrt{2}\right).\sqrt{\left(\sqrt{2}-1\right)^2}\)

\(=\left(1-3\sqrt{2}+4\sqrt{2}\right).\left|\sqrt{2}-1\right|\)

\(=\left(1+\sqrt{2}\right).\left|\sqrt{2}-1\right|\)

Vì \(\sqrt{2}>1\)\(\Rightarrow\left|\sqrt{2}-1\right|>0\)

\(\Rightarrow A=\left(1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=\left(\sqrt{2}\right)^2-1=2-1=1\)

b) \(B=\frac{3}{6+\sqrt{35}}-\frac{3}{6-\sqrt{35}}=\frac{3\left(6-\sqrt{35}\right)}{\left(6+\sqrt{35}\right)\left(6-\sqrt{35}\right)}-\frac{3\left(6+\sqrt{35}\right)}{\left(6-\sqrt{35}\right)\left(6+\sqrt{35}\right)}\)

\(=\frac{18-3\sqrt{35}-18-3\sqrt{35}}{36-35}=-6\sqrt{35}\)