a) \(\sqrt{60}-\sqrt{135}+\frac{1}{3}\sqrt{15}\)

\(=2\sqrt{15}-3\sqrt{15}+\frac{1}{3}\sqrt{15}\)

\(=-\frac{2}{3}\sqrt{15}\)

b) \(\sqrt{28}-\frac{1}{2}\sqrt{343}+2\sqrt{63}\)

\(=2\sqrt{7}-\frac{7}{2}\sqrt{7}+6\sqrt{7}\)

\(=\frac{9}{2}\sqrt{7}\)

c) \(\sqrt{12}-\frac{2}{3}\sqrt{27}+\sqrt{243}\)

\(=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}+9\sqrt{3}\)

\(=9\sqrt{3}\)

\(\sin\alpha=\frac{8}{17}\Rightarrow sin^2\alpha=\frac{64}{289}\Rightarrow cos^2\alpha=1-sin^2\alpha=1-\frac{64}{289}=\frac{225}{289}\)

\(\Rightarrow cos\alpha=\frac{15}{17}\)

từ đó tính ra \(tan\alpha;cot\alpha\)

Ta có: \(\sin^2\alpha+\tan^2\alpha=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{64}{289}+\tan^2\alpha=1\)

\(\Leftrightarrow\tan^2\alpha=\frac{225}{289}\)

\(\Rightarrow\tan\alpha=\frac{15}{17}\)

Đến đây thì dễ rồi:

\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{15}{8}\) ; \(\cot\alpha=\frac{8}{15}\)

Hình vẽ chung cho cả ba bài.

Bài 1:

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{15^2}+\frac{1}{20^2}=\frac{1}{144}\)

\(\Rightarrow AH^2=144\Rightarrow AH=12\)

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{81}=9\)

\(CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{256}=16\)

\(\Rightarrow BC=BH+CH=9+16=25\)

Bài 2,3 bạn nhìn hình vẽ và sử dụng hệ thức lượng để tính tiếp như bài 1.

Bài 2:                                                    Bài giải

Đặt BH = x (0 < x < 25) (cm) => CH = 25 - x (cm)

Ta có : \(AH^2=BH\cdot CH\text{ }\Rightarrow\text{ }x\left(25-x\right)=144\text{ }\Rightarrow\text{ }x^2-25x+144=0\)

\(\left(x-9\right)\left(x-16\right)=0\text{ }\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=9\\x=16\end{cases}}\left(tm\right)\)

Nếu BH = 9 cm thì CH = 16 cm \(\Rightarrow\text{ }AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ }\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\text{ }\left(cm\right)\)

Nếu BH = 16 cm thì CH = 9 cm

\(\Rightarrow\text{ }AB=\sqrt{AH^2+BH^2}=\sqrt{12^2+16^2}=20\text{ }\left(cm\right)\)

\(AC=\sqrt{AH^2+CH^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15\text{ }\left(cm\right)\)

\(\cos C=\sqrt{1-\sin^2C}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}\)

\(\Rightarrow\cos C=\frac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\tan C=\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{3}{5}:\frac{4}{5}=\frac{3}{4}\)và \(\cot C=\frac{4}{3}\)

Ta có: \(\widehat{C};\widehat{B}\)là hai góc phụ nhau

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sin C=\cos B\\\cos C=\sin B\end{cases};\hept{\begin{cases}\tan C=\cot B\\\cot C=\tan B\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\sin B=\frac{4}{5};\cos B=\frac{3}{5};\tan B=\frac{4}{3};\cot B=\frac{3}{4}\)

Ta có: \(\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}\) 

=> \(\frac{AB}{3}=\frac{BC}{5}=k\left(k\inℕ\right)\)

=> \(\hept{\begin{cases}AB=3k\\BC=5k\end{cases}}\)

=> \(AC=\sqrt{\left(5k\right)^2-\left(3k\right)^2}=\sqrt{16k^2}=4k\)

Đến đây thì xong rồi:))

\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4k}{5k}=\frac{4}{5}\) ; \(\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{3k}{5k}=\frac{3}{5}\)

\(\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{4k}{3k}=\frac{4}{3}\) ; \(\cot B=\frac{AB}{AC}=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}\)

Đặt \(\left(\frac{a-b}{c};\frac{b-c}{a};\frac{c-a}{b}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)

Khi đó:

\(S=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{x+z}{y}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+y}{z}\)

Ta có:\(\frac{y+z}{x}=\left(\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}\right)\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{b^2-cb+ac-a^2}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}\)

\(=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)-c\left(a-b\right)}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a-c\right)}{ab}\cdot\frac{c}{a-b}=\frac{c\left(b+a-c\right)}{ab}\)

\(=\frac{2c^2}{ab}=\frac{2c^3}{abc}\)

Một cách tương tự khi đó:\(\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}=\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=\frac{2\cdot3abc}{abc}=6\)

Khi đó:\(S=3+6=9\) Bạn để ý rằng \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

sao \(\frac{c\left(b+a-c\right)}{ab}\) lại bằng \(\frac{2c^2}{ab}\)

Ai trả lời nhanh mình cho 4 k

a) Ta có : \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

Do đó : \(a^4+b^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left[\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right]^2}{2}=\frac{\left(a+b\right)^4}{8}\)

\(\Rightarrow\frac{a^4+b^4}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

b) Với \(a,b,c>0\) thì ta có :

\(\hept{\begin{cases}0< a+b< a+b+c\\0< b+c< a+b+c\\0< c+a< a+b+c\end{cases}}\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\\\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\\\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Ta có phương trình :

\(x^2y+x^2=x^3-y+2x+7\)

\(\Leftrightarrow x^2y+y=x^3-x^2+2x+7\)

\(\Leftrightarrow y.\left(x^2+1\right)=x^3-x^2+2x+7\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{x^3-x^2+2x+7}{x^2+1}\)

Do \(y\inℤ\rightarrow\frac{x^3-x^2+2x+7}{x^2+1}\inℤ\). Lại có \(x\inℤ\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^3-x^2+2x+7\inℤ\\x^2+1\inℤ\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^3-x^2+2x+7⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x.\left(x^2+1\right)-\left(x^2+1\right)+x+8⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x+8⋮x^2+1\)

\(\Rightarrow\left(x+8\right)\left(x-8\right)⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+1-65⋮x^2+1\)

\(\Leftrightarrow65⋮x^2+1\)\(\Leftrightarrow x^2+1\inƯ\left(65\right)\). Mà : \(x^2+1\ge1\forall x\)

\(\Rightarrow x^2+1\in\left\{1,5,13,65\right\}\)

\(\Leftrightarrow x^2\in\left\{0,4,12,64\right\}\). \(x^2\) là số chính phương với \(x\inℤ\)

\(\Rightarrow x^2\in\left\{0,4,64\right\}\Rightarrow x\in\left\{0,2,-2,8,-8\right\}\)

+) Với \(x=0\) thì \(y=7\) ( Thỏa mãn )

+) Với \(x=2\) thì \(y=3\) ( Thỏa mãn )

+) Với \(x=-2\) thì \(y=-\frac{9}{5}\) ( Loại )

+) Với \(x=8\) thì \(y=\frac{471}{65}\) ( Loại )

+) Với \(x=-8\) thì \(y=-9\) ( Thỏa mãn )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-8,-9\right);\left(0,7\right);\left(2,3\right)\right\}\)

\(B=\sqrt{\left(x-2020\right)^2}+\sqrt{\left(x-1\right)^2}=\left|x-2020\right|+\left|x-1\right|\)

\(=\left|x-2020\right|+\left|1-x\right|\ge\left|x-2020+1-x\right|=\left|-2019\right|=2019\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x-2020\right)\left(1-x\right)\ge0\)

TH1: \(\hept{\begin{cases}x-2020\le0\\1-x\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le2020\\1\le x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le2020\\x\ge1\end{cases}}\Leftrightarrow1\le x\le2020\)

TH2: \(\hept{\begin{cases}x-2020>0\\1-x>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>2020\\1>x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>2020\\x< 1\end{cases}}\)( không thỏa mãn )

Vậy \(minB=2019\)\(\Leftrightarrow1\le x\le2020\)

\(B=|x-2020|+|x-1|\)  

\(=|2020-x|+|x-1|\)  

Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : 

\(|2020-x|+|x-1|\ge|2020-x+x-1|\)  

\(|2020-x|+|x-1|\ge|2020-x+x-1|\)     

\(|2020-x|+|x-1|\ge|2019|\)    

\(|2020-x|+|x-1|\ge2019\)    

Dấu  = xảy ra \(\Leftrightarrow\)     \(\left(2020-x\right)\left(x-1\right)\ge0\)    

Có 2 TH 

TH 1 : 

\(\hept{\begin{cases}2020-x\ge0\\x-1\ge0\end{cases}}\)    

\(\hept{\begin{cases}-x\ge-2020\\x\ge1\end{cases}}\)    

\(\hept{\begin{cases}x\le2020\\x\ge1\end{cases}\Rightarrow1\le x\le2020}\)      

TH2 : 

\(\hept{\begin{cases}2020-x\le0\\x-1\ge0\end{cases}}\)            

\(\hept{\begin{cases}-x\le-2020\\x\le1\end{cases}}\)        

\(\hept{\begin{cases}x\ge2020\\x\le1\end{cases}\Rightarrow x=\varnothing}\)          

2 nhỏ hơn

a/ Kẻ đường cao AH => BH là hình chiếu của AB trên BC và CH là hình chiếu của AC trên BC

Giả sử \(\frac{AB}{AC}=k\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=k^2\)

Ta có \(AB^2=BH.BC;AC^2=CH.BC\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{BH}{CH}=k^2\) 

b/ Áp dụng câu A sẽ tính được tỷ số hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên BC là mà biết chiều dài BC=82 bài toán là dạng tìm 2 số khi biết tổng và tỷ ở lớp 5 rồi bạn tự giải nốt nhé