Xét P-1 = \(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}-1\)
P-1 = \(\frac{\sqrt{x}+3-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}=\frac{1}{\sqrt{x}+2}\)
Nhận xét : \(\hept{\begin{cases}1>0\\\sqrt{x}+2>0\end{cases}}vớimoix\)
-> P-1 >0 với mọi x
-> P>1
Thay x=6-2 căn 5 vào P -> P=\(\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}+3}{\sqrt{6-2\sqrt{5}+2}}=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+3}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+3}\)

=\(\frac{\sqrt{5}-1+3}{\sqrt{5}-1+2}=\frac{\sqrt{5}+3}{\sqrt{5}+1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}\)( ĐKXĐ : \(x\ge0\))

1) Ta có : \(P=\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2+1}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\)

Vì \(\frac{1}{\sqrt{x}+2}>0\left(\forall x\ge0\right)\)

Cộng 1 vào mỗi vế => \(1+\frac{1}{\sqrt{x}+2}>1\)

Vậy P > 1

2) Với \(x=6-2\sqrt{5}\)( tmđk )

Khi đó \(P=1+\frac{1}{\sqrt{6-2\sqrt{5}}+2}\)

\(P=1+\frac{1}{\sqrt{5-2\sqrt{5}+1}+2}\)

\(P=1+\frac{1}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+2}\)

\(P=1+\frac{1}{\left|\sqrt{5}-1\right|+2}\)

\(P=1+\frac{1}{\sqrt{5}-1+2}\)

\(P=1+\frac{1}{\sqrt{5}+1}\)

\(P=\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}+\frac{1}{\sqrt{5}+1}\)

\(P=\frac{\sqrt{5}+1+1}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+1}\)

Gọi số tiền 1 quyển tập lúc chưa giảm giá là x (nghìn đồng) (x>0).(x>0).

Gọi số tiền 1 cây viết lúc chưa giảm giá là y (nghìn đồng) (y>0).(y>0).

Lúc đầu, An dự định mua 30 quyển tập và 10 cây viết hết 340 nghìn đồng nên ta có phương trình:

30x+10y=340(1)

Số tiền mua 1 quyển tập sau khi được giảm giá 10%10% là: x−x.10%=90%x(nghìn đồng)

Số tiền mua 1 cây viết sau được khi giảm 5%5% là: y−y.5%=95%y (nghìn đồng).

An mua 50 quyển tập và 20 cây viết với giá đã được giảm hết 526 nghìn đồng nên ta có phương trình:

50.90%x+20.95%y=526⇔45x+19y=526(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

{30x+10y=34045x+19y=526⇔{3x+y=3445x+19y=526⇔{45x+15y=51045x+19y=526⇔{4y=163x+y=34⇔{y=43x+4=34⇔{x=10(tm)y=4(tm)

Vậy giá tiền mỗi quyển tập lúc chưa giảm giá là 10 nghìn đồng, mỗi cây viết lúc chưa giảm giá là 4 nghìn đồng.

Gọi số tiền 1 quyển tập lúc chưa giảm giá là x ( nghìn đồng ) ( x > 0 ).

Gọi số tiền 1 cây viết lúc chưa giảm giá là y ( nghìn đồng ) ( y> 0 ).

Lúc đầu, An dự định mua 30 quyển tập và 10 cây viết hết 340 nghìn đồng nên ta có phương trình:

30x + 10y = 340 (1)

Số tiền mua 1 quyển tập sau khi được giảm giá 10% là :

x - x . 10% = 90%x ( nghìn đồng )

Số tiền mua 1 cây viết sau được khi giảm 5% là :

y - y . 5% = 95%y  ( nghìn đồng )

An mua 50 quyển tập và 20 cây viết với giá đã được giảm hết 526 nghìn đồng nên ta có phương trình:

50 . 90%x + 20 . 95%y = 526

⇔ 45x + 19y = 526  (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

{30x+10y=34045x+19y=526{30x+10y=34045x+19y=526 ⇔ {3x+y=3445x+19y=526{3x+y=3445x+19y=526  ⇔ {45x+15y=51045x+19y=526{45x+15y=51045x+19y=526  ⇔ {4y=163x+y=34{4y=163x+y=34  ⇔ {y=43x+x=34{y=43x+x=34  {x=10(tm)y=4(tm){x=10(tm)y=4(tm) 

Vậy giá tiền mỗi quyển tập lúc chưa giảm giá là  10  nghìn đồng, mỗi cây viết lúc chưa giảm giá là  4 nghìn đồng.

Đặt S = x + y 

P = \(x\cdot y\) 

\(\hept{\begin{cases}PS=2\\\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+P^3+7\left(xy+x+y+1\right)=31\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}PS=2\\S^3-3PS+P^3+7+7S+7P=31\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}PS=2\\S^3-6+P^3+7+7S+7P=31\end{cases}}\) 

\(\hept{\begin{cases}P=\frac{2}{S}\\S^3+\left(\frac{2}{S}\right)^3+7S+7\cdot\frac{2}{S}=30\end{cases}}\)  Giải vế dưới trước cho gọn 

\(S^3+\frac{8}{S^3}+7S+\frac{14}{S}=30\) 

\(S^6+8+7S^4+14S^2-30S^3=0\) 

\(S^6-2S^5+2S^5-4S^4+11S^4-22S^3-8S^3+16S^2-2S^2+4S-4S+8=0\) 

\(\left(S-2\right)\left(S^5+2S^4+11S^3-8S^2-2S-4\right)=0\) 

\(\left(S-2\right)\left(S^5-S^4+3S^4-3S^3+14S^3-14S^2+6S^2-6S+4S-4\right)=0\) 

\(\left(S-2\right)\left(S-1\right)\left(S^4+3S^3+14S^2+6S+4\right)=0\) 

\(\orbr{\begin{cases}S-2=0\\S-1=0\end{cases}}\) 

\(\orbr{\begin{cases}S=2\\S=1\end{cases}}\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}P=\frac{2}{S}=\frac{2}{2}=1\\P=\frac{2}{S}=\frac{2}{1}=2\end{cases}}\) 

TH1 : 

\(\hept{\begin{cases}S=x+y=2\\P=x\cdot y=1\end{cases}}\) 

\(X^2-SX+P=0\) 

\(X^2-2X+1=0\) 

\(X=1\) 

Vậy x = y = 1 

TH2 : 

\(\hept{\begin{cases}S=x+y=1\\P=x\cdot y=2\end{cases}}\) 

\(X^2-SX+P=0\) 

\(X^2-X+2=0\) ( phương trình vô nghiệm ) 

Vậy x = y = 1 là nghiệm của hệ phương trình 

Do:   \(xy\left(x+y\right)=2\left(gt\right)\)

=>   \(3xy\left(x+y\right)=6\)

=>   \(3xy\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)=6\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)

=>   \(3\left(x+y\right)\left(xy+y\right)\left(xy+x\right)=6\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)                                            (3)

pt (2)   <=>   \(x^3+y^3+x^3y^3+6\left(x+1\right)\left(y+1\right)+\left(x+1\right)\left(y+1\right)=31\)     (4)

TỪ (3) THAY VÀO (4) TA ĐƯỢC:   

=>   \(x^3+y^3+x^3y^3+3\left(x+y\right)\left(xy+x\right)\left(xy+y\right)+\left(x+1\right)\left(y+1\right)=31\)

<=>   \(\left(x+y+xy\right)^3+x+y+xy+1=31\)

<=>   \(\left(xy+x+y\right)^3+xy+x+y=30\)

<=>   \(xy+x+y=3\)

CÓ:   \(xy\left(x+y\right)=2\)

ĐẶT:   \(\hept{\begin{cases}xy=a\\x+y=b\end{cases}}\)

=> TA ĐƯỢC:   \(\hept{\begin{cases}a+b=3\\ab=2\end{cases}}\)

TỪ ĐÂY TA DỄ DÀNG GIẢI ĐƯỢC    \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=1\end{cases}}\)       HOẶC    \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}}\)

NHƯNG DO:   \(b^2\ge4a\left(đk\right)\)

=>    \(\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}}\)     là nghiệm duy nhất

=>    \(\hept{\begin{cases}xy=1\\x+y=2\end{cases}}\)

=>      \(x=y=1\)

VẬY TẬP HỢP NGHIỆM CỦA HPT LÀ:     \(x=y=1\)

\(x^3+x^2+x+1=2003^y\)^y

\(\left(x^3+x^2\right)+\left(x+1\right)=2003^y\)

\(x^2\left(x+1\right)+\left(x+1\right)=2003^y\)

\(\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)=2003^y\)

\(\left(x+1\right)^2\left(x-1\right)=2003^y\)

\(x^4=2003^y\)

Bạn có thể giải thích cho mình sao (x² + 1)(x+1) <=> (x+1)(x-1) <=> x⁴

A C B H

có S AHB = AH.HB/2 = 54 (gt) => AH.HB = 108

S AHC = AH.HC/2 = 96 (gt) => AH.HC = 192

=> AH^2.HB.HC = 108.192 = 20736                                                                 (1)

tg ABC có ^A = 90 (gt) ; AH _|_ BC => AH^2 = HB.HC (đl)

=> AH^4 = AH^2.HB.HC    và (1)

=> AH^4 = 20736

=> AH = 12 do AH > 0

có AH.HB = 108 => HB = 9 

AH.HC = 192 => HC = 16

=> HB + HC = 9 + 16 = 25

Động não tí đi Quỳnh, a thấy bài này cũng không khó.

Bài dễ mừ, có phải Croatia thật ko vậy :))  (viết đề bị nhầm, là x,y,z dương chứ :))

Áp dụng Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu số:

\(\frac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y^2}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z^2}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge\)

\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)+\left(y+z\right)\left(y+x\right)+\left(z+x\right)\left(z+y\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\)

Xét \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{4}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y=z,  Xong! :))

đk \(x-2\ge0\Leftrightarrow x\ge2\)

\(\sqrt{x-2}< 5\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}\right)^2< 25\)

\(\Leftrightarrow x-2< 25\)

\(\Leftrightarrow x< 27\)

vậy \(2\le x< 27\)

\(\sqrt{x-2}< 5\)

ĐKXĐ : \(x\ge2\)

Bình phương hai vế

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}\right)^2< 5^2\)

\(\Leftrightarrow x-2< 25\)

\(\Leftrightarrow x< 27\)

Kết hợp ĐKXĐ => \(2\le x< 27\)