Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:  \(\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{6}\right)^2}+\frac{1}{\left(\sqrt{3}\right)^2}\right)\left(\left(2x\right)^2+\left(y\sqrt{6}\right)^2+\left(z\sqrt{3}\right)^2\right)\ge\)

\(\left(\frac{1}{2}.2x+\frac{1}{\sqrt{6}}.y\sqrt{6}+\frac{1}{\sqrt{3}}.z\sqrt{3}\right)^2=\left(x+y+z\right)^2=3^2=9\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)\left(4x^2+6y^2+3z^2\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}A\ge9\Leftrightarrow A\ge12\)

Dấu = xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x=6y=3z\\x+y+z=3\end{cases}\Leftrightarrow x=1,y=\frac{2}{3},z=\frac{4}{3}}\)

Áp dụng bđt svacxo: \(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3^2}{y_3}\ge\frac{\left(x_1+x_2+x_3\right)^2}{y_1+y_2+y_3}\)(Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=\frac{x_3}{y_3}\))

CM bđt đúng: Áp dụng bđt buniacopski

\(\left[\left(\frac{x_1}{\sqrt{y_1}}\right)^2+\left(\frac{x_2}{\sqrt{y_2}}\right)+\left(\frac{x_3}{\sqrt{y_3}}\right)\right]\left[\left(\sqrt{y_1}\right)^2+\left(\sqrt{y_2}\right)^2+\left(\sqrt{y}\right)^2\right]\)

\(\ge\left(\frac{x_1}{\sqrt{y_1}}+\sqrt{y_1}+\frac{x_2}{\sqrt{y_2}}+\frac{x_3}{\sqrt{y_3}}+\sqrt{y_2}+\frac{x_3}{y_3}\right)^2\)

<=> \(\left(\frac{x_1^2}{y_1}+\frac{x_2^2}{y_2}+\frac{x_3}{y_3}\right)\left(y_1+y_2+y_3\right)\) \(\ge\left(x_1+x_2+x_3\right)^2\)

Áp dụng bđt vaofA, ta có:

A = \(4x^2+6y^2+3z^2=\frac{x^2}{\frac{1}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{6}}+\frac{z_2}{\frac{1}{3}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{3}{4}}=12\)

 Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{\frac{1}{4}}=\frac{y}{\frac{1}{6}}=\frac{z}{\frac{1}{3}}\\x+y+z=3\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=\frac{2}{3}\\z=\frac{4}{3}\end{cases}}\)

Vậy MinA = 12 <=> x = 1; y = 2/3; z = 4/3

Đặt \(2x^2+3x=t\)ta có : 

\(2\left(t+\frac{7}{2}\right)+\sqrt{t+9}=15\)

\(\Leftrightarrow2t+7+\sqrt{t+9}=15\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{t+9}=8-2t\)

Bình phương 2 vế : \(t+9=4t^2-32t+64\)

\(\Leftrightarrow-4t^2+33t-55=0\)

Ta có : \(\Delta=33^2-4.\left(-4\right).\left(-55\right)=209\)

\(x_1=\frac{-33-\sqrt{209}}{-8};x_2=\frac{-33+\sqrt{209}}{-8}\)

Bài này nghiệm khá xấu mình gợi ý nhé !

ĐKXĐ : \(x\inℝ\)

Pt ban đầu có thể viết lại :

\(2.\left(2x^2+3x+9\right)+2\sqrt{2x^2+3x+9}=26\)

Đặt \(\sqrt{2x^2+3x+9}=a\left(a>0\right)\)

Pt trên trở thành :

\(2.a^2+2a=26\)

\(\Leftrightarrow a^2+a-13=0\)

\(\Leftrightarrow a=\frac{-1\pm\sqrt{53}}{2}\)

Từ đây thì dễ dàng tính được x nhưng kết quả rất xấu.....

\(\Leftrightarrow x+y+z=2\sqrt{x-2}+2\sqrt{y+2003}+2\sqrt{z-2004}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y+2003-2\sqrt{y+2003}+1\right)\)

\(+\left(z-2004-2\sqrt{z-2004}+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y+2003}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2004}-1\right)^2=0\)

Vì biểu thức trên là tổng của các số hạng không âm nên nó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng phải bằng 0

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-2003}=1\\\sqrt{z-2004}=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=2004\\z=2005\end{cases}}}\)

\(ĐK:x\ge2,y\ge-2003,z\ge2004\)

Pt đã cho tương đương :

\(x+y+z-2\sqrt{x-2}-2\sqrt{y+2003}-2\sqrt{z-2004}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y+2003-2\sqrt{y+2003}+1\right)+\left(z-2004-2\sqrt{z-2004}+1\right)\)\(=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y+2003}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2004}-1\right)^2=0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-2=1\\y+2003=1\\z-2004=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=3\\y=-2002\\z=2005\end{cases}}\)(Thỏa mãn)

Hệ \(\hept{\begin{cases}x^3+y^3+z^3=3\\x+y+z=3\end{cases}}\)

Ta có : x + y + z = 3

<=> x + y = 3 - z

<=> (x + y)^3 = (3 - z)^3

<=> x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = 27 - 27z + 9z^2 - z^3

<=> (x^3 + y^3 + z^3) + 3xy(x + y) + 9z(3 - z) = 27

<=> 3 + 3xy(3 - z) + 9z(3 - z) = 27

<=> 3xy(3 - z) + 9z(3 - z) = 24

<=> (3 - z)(xy + 3z) = 8 (*)

Vì x,y,z nguyên nên (*) tương tương với các hệ sau:

{ 3 - z = 8 => z = - 5 => x + y = 3 - z = 8

{ xy + 3z = 1 => xy = 1 - 3z = 16

=> x, y là nghiệm của pt: t^2 - 8t +16 = 0 <=> (t - 4)^2 = 0 <=> x = y = 4

{ 3 - z = - 8 => z = 11 => x + y = 3 - z = -8

{ xy + 3z = -1 => xy = - 1 - 3z = - 34

=> x, y là nghiệm của pt: t^2 + 8t - 34 = 0 => loại vì x, y không nguyên

{ 3 - z = 4 => z = -1 => x + y = 3 - z = 4

{ xy + 3z = 2 => xy = 2 - 3z = 5

=> x, y là nghiệm của pt: t^2 - 4t + 5 = 0 => vô nghiệm

{ 3 - z = - 4 => z = 7 => x + y = 3 - z = - 4

{ xy + 3z = - 2 => xy = - 2 - 3z = -23

=> x, y là nghiệm của pt: t^2 + 4t - 23 = 0 => loại vì x, y không nguyên

{ 3 - z = 2 => z = 1 => x + y = 3 - z = 2

{ xy + 3z = 4 => xy = 4 - 3z = 1

=> x, y là nghiệm của pt: t^2 - 2t +1 = 0 => x = y = 1

{ 3 - z = - 2 => z = 5 => x + y = 3 - z = - 2

{ xy + 3z = - 4 => xy = - 4 - 3z = - 19

=> x, y là nghiệm của pt: t^2 + 2t -19 = 0 => loại vì x, y không nguyên

{ 3 - z = 1 => z = 2 => x + y = 3 - z = 1

{ xy + 3z = 8 => xy = 8 - 3z = 2

=> x, y là nghiệm của pt: t^2 - t + 2 = 0 => vô nghiệm

{ 3 - z = - 1 => z = 4 => x + y = 3 - z = -1

{ xy + 3z = - 8 => xy = - 8 - 3z = - 20

=> x, y là nghiệm của pt: t^2 + t - 20 = 0 => x = - 5; y = 4 hoặc x = 4; y = -5

Kết luận: Vậy tập nghiệm nguyên của hệ là S ={(x,y,z)} = {(1,1,1);(4,4,-5);(-5,4,4);(4,-5,4)}

a, xét (O) đk AD; C thuộc (O) (gt) => ^DCA = 90 (định lí) => DC _|_ AC (đn) mà có BF _|_ AC (Gt)  => BF // DC (đl)     (1)

xét (O) đk AD; B thuộc (O) (gt) => ^ABD = 90 (đl) => AB _|_ BD (đn) mà có CK _|_ AB (gt) =>  CK // BD (Đl)          (2)

(1)(2) ; xét tg HCDB => HCDB là hbh (đn)

b,  

HCBD là hbh (câu a) 

=> BC cắt HD tại trđ của mỗi đường (tc) mà có I là trđ của BC (gt) 

=> I là trđ của HD ; lại có O là trđ của AD do (O) đk AD (Gt) ; xét tg AHD

=> OI là đtb của tg AHD (đn)

=> OI = 1/2AH (Tc)

=> AH = 2OI

c, OI là đtb của tg AHD (Câu b) => OI // AH (tc)  mà ^HAG slt ^GIO 

=> ^HAG = ^GIO (đl)                                                                                           (*)

có G là trọng tâm của tg ABC (gt) => AG = 2/3AI (Đl) mà AG + GI = AI 

=> GI = 1/3AI

=> AG = 2GI ; có AH = 2OI (câu b)

=> AG/AH = GI/OI    và (*) xét tg GHA và tg GOI 

=> tg GHA đồng dạng với tg GOI (c-g-c)

=> ^AGH = ^OGI (đn)

mà ^AGH + ^HGI =180 do A;G;I thẳng hàng

=> ^OGI + ^HGI = 180

=> ^HGO =180 => H;G;O thẳng hàng

có AI; HO là đtt của tg HAD do gì thì dễ mà AI cắt HO tại G

=> G là trọng tâm của tg HAD (dl

gọi O là trung điểm BC=> O cố định
trọng tâm G là giao của BM và AO
theo tính chất trọng tâm:
+BG=(2/3)BM=2/3 cm=>G thuộc đường tròn (B ; 2/3)
+ vtOA= 3vtOG
trong phép vị tự V(O ; 3) : G------>A
=>A chạy trên đường tròn ảnh của (B;2/3) trong phép vị tự trên

3.

a)

tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) N là trung điểm của BC (gt) nên MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN//AC, MN=1/2AC (1) tam giác DAC có K là trung điểm của AD (gt) H là trung điểm của DC (gt) nên KH là đường trung bình của tam giác DAC => KH//AC, KH=1/2AC (2) từ (1) và (2) ta có MN//KH, MN=KH suy ra tứ giác MNHK là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ta có BD vuông góc với AC (gt) MN//AC ( chứng minh trên) suy ra MN vuông với BD tam giác ABD có MK là đường trung bình của tam giác => MK//BD suy ra MN vuông với MK hay ^NMK= 90 độ hình bình hành MNHK có một góc vuông nên là hình chữ nhật gọi O là giao điểm hai đường chéo của MH và NK ta có OM = ON= OH= OK nên bốn điểm M,N,H,K thuộc cùng một đường tròn (tâm O , bán kính OM)

b)

ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN=1/2AC = 1/2.12 = 6 cm ta có NH là đường trung bình của tam giác CBD => NH= 1/2BD = 1/2.16 = 8 cm áp dụng định lí pytago vào tam giác vuông NMH ta có MH^2= MN^2+NH^2 = 6^2+8^2 = 36+84 = 100 cm => MH= 10 cm ta có OM= ON= MH/2= 10/2 = 5 cm vậy bán kính của đường tròn bằng 5 cm

8.

a)

tam giác ABC có M là trung điểm của AB (gt) N là trung điểm của AC (gt) nên MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN//AC, MN=1/2AC (1) tam giác ADC có P là trung điểm của CD (gt) Q là trung điểm của AD (gt) nên PQ là đường trung bình của tam giác ADC => PQ// AC, PQ= 1/2AC (2) từ (1) và (2) suy ra MN// PQ, MN= PQ vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành ta có AC vuông góc với BD (tính chất hình thoi) MN// AC (cmt) suy ra MN vuông góc với BD tam giác ABD có MQ là đường trung bình của tam giác ABD => MQ// BD suy ra MQ vuông góc với MN hay ^NMQ= 90 độ hình bình hành MNPQ có một góc vuông nên là hình chữ nhật gọi O là trung điểm của hai đường chéo MP và NQ ta có OM= ON= OP= OQ nên bốn điểm M,N,P,Q thuộc cùng một đường tròn tâm O

a) Sau x ngày lấy thì lấy đi là: 30.x (tấn hàng) (x>0)

=> số hàng còn lại sau x ngày là: 800 - 30.x (tấn) 

b)

Trong kho còn 260 tấn nên:

800−30x=260⇒30x=540⇒x=18800−30x=260⇒30x=540⇒x=18

Vậy sau 18 ngày thì trong kho còn 260 tấn hàng.

Hai đường thẳng làm sao ?

Vẽ (D₁) và (D2) trên cùng hệ trục tọa độ.

a) \(3x^2-7x+2=0\Leftrightarrow\left(3x^2-6x\right)-\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow3x\left(x-2\right)-\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left(3x-1\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}3x-1=0\\x-2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{3}\\x=2\end{cases}}\)Vậy phương trình có 2 nghiệm \(\left\{\frac{1}{3};2\right\}\)

b) \(x^4-5x+4=0\Leftrightarrow\left(x^4-x\right)-4\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow x\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-4\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-4\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=0\\x^3+x^2+x-4=0\end{cases}}\)Xét phương trình: \(x^3+x^2+x-4=0\)

Đặt \(x=y-\frac{1}{3}\)thì phương trình trở thành \(y^3+\frac{18}{27}y-\frac{115}{27}=0\)có các hệ số \(a=\frac{18}{27},b=\frac{-115}{27}\)

\(\Rightarrow D=\left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{3}\right)^3=\left(\frac{\frac{-115}{27}}{2}\right)^2+\left(\frac{\frac{18}{27}}{3}\right)^3=\frac{491}{108}\)

\(\Rightarrow y=\sqrt[3]{\frac{115}{54}+\sqrt{\frac{491}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{115}{54}-\sqrt{\frac{491}{108}}}\)

\(\Rightarrow x=\sqrt[3]{\frac{115}{54}+\sqrt{\frac{491}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{115}{54}-\sqrt{\frac{491}{108}}}-\frac{1}{3}\)

Vậy phương trình có 2 nghiệm \(\left\{1;\sqrt[3]{\frac{115}{54}+\sqrt{\frac{491}{108}}}+\sqrt[3]{\frac{115}{54}-\sqrt{\frac{491}{108}}}-\frac{1}{3}\right\}\)

c) \(\hept{\begin{cases}\sqrt{5}x-2y=7\\x-\sqrt{5}y=2\sqrt{5}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{2\sqrt{5}}{5}y=\frac{7\sqrt{5}}{5}\left(1\right)\\x-\sqrt{5}y=2\sqrt{5}\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) - (2), ta được: \(\frac{3\sqrt{5}}{5}y=-\frac{3\sqrt{5}}{5}\Leftrightarrow y=-1\). Từ đó tìm được \(x=\sqrt{5}\)

Vậy hệ có 1 nghiệm \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{5};-1\right)\)

a) \(A=\frac{1}{2}\)

 \(B=\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}\)( ĐKXĐ : \(x\ge0\))

\(B=\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}+2}\)

\(B=\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}-2}{1}\)

\(B=\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}}\)

\(B=\frac{x+\sqrt{x}+x-2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

\(B=\frac{2x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\)

\(B=\frac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}}=2\sqrt{x}-1\)

b) \(A+B=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}+2\sqrt{x}-1=2\)( ĐKXĐ : \(x\ge0\))

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}-\frac{1}{2}=2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}=\frac{5}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\frac{5}{4}\)

Bình phương hai vế

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2=\left(\frac{5}{4}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{25}{16}\)( tmđk )

Vậy x = 25/16

Xin lỗi bạn

 ĐKXĐ của B là x > 0 nhé :<

Xét \(\Delta=p^2+4ap\inℕ^∗,\forall a,p\inℕ^∗\)

Để phương trình nhận nghiệm hữu tỉ thì \(\sqrt{\Delta}\)Phải là hữu tỉ hay có thể khẳng định rằng \(\Delta\)phải là số chính phương.

Ở đây ta chú ý rằng nếu x là số nguyên tố thì mọi số chính phương chia hết cho x buộc phải chia hết cho x²

( Điều này hiển nhiên khỏi chứng minh)

Vì \(\Delta⋮p\)mà p là số nguyên tố \(\Rightarrow\Delta=p^2+4ap⋮p^2\Rightarrow4a⋮p\)

---> Đặt \(4a=kp,k\inℕ^∗\)---> Thế vào \(\Delta\)

\(\Rightarrow\Delta=p^2+kp^2=p^2\left(1+k\right)\)là số chính phương khi và chỉ khi (1+k) là số chính phương

---> Đặt \(1+k=n^2\Rightarrow k=n^2-1,n\inℕ^∗\)---> Thế vào a

\(\Rightarrow a=\frac{\left(n^2-1\right)p}{4}\)

Thử lại: \(\Delta=p^2+4ap=p^2+\left(n^2-1\right)p^2=p^2.n^2=\left(pn\right)^2\)---> Là số chính phương

Kết luận: bla bla bla bla...... :)))