Ta có: \(x^2+2x+7=3\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\)               \(\left(ĐK:x\ge-3\right)\)

    \(\Leftrightarrow4x^2+8x+28=12\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\)

    \(\Leftrightarrow4x^2+4-12\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}+9x+27=x+3\)

    \(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x^2+1}-3\sqrt{x+3}\right)^2=x+3\)

    \(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2+1}-3\sqrt{x+3}=\sqrt{x+3}\)

    \(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2+1}=4\sqrt{x+3}\)

    \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{x+3}\)

    \(\Leftrightarrow x^2+1=4.\left(x+3\right)\)

    \(\Leftrightarrow x^2-4x-11=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)-15=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=15\)

    \(\Leftrightarrow x-2=\pm\sqrt{15}\)

 +  \(x-2=\sqrt{15}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=2+\sqrt{15}\)\(\left(TM\right)\)

 +  \(x-2=-\sqrt{15}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=2-\sqrt{15}\)\(\left(TM\right)\)

Vậy \(S=\left\{2+\sqrt{15};2-\sqrt{15}\right\}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+1}=a\\\sqrt{x+3}=b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+1=a^2\\x+3=b^2\end{cases}\left(a,b>0\right)}}\)

Có phương trình mới : \(a^2+2b^2=3ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b\\a=2b\end{cases}}\)

Với \(a=b\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x+3}\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}\)thỏa mãn

Với \(a=2b\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{x+3}\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=4x+12\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x-11=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2+\sqrt{15}\\x=2-\sqrt{15}\end{cases}}\)thỏa mãn

dùng cách trục căn thức là ra

Xét p=2 ( k thỏa mãn)

Xét p=3: \(2^p+p^2=17\)là số nguyên tố. Vậy p=3 thỏa mãn

Xét p>3: p² chia 3 dư 1

Vì p lẻ nên 2^p=2^2k+1=4^k.2 chia 3 dư 2 nên 2^p+p²  chia hết cho 3 mà 2^p+p²>3 nên sẽ là hợp số

KL: Vậy p=3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài.

Thời gian ô tô đó đi từ A đến B ( không tính thời gian sửa xe là ) :

11 giờ 30 phút - 8 giờ - 15 phút = 3 giờ 15 phút = 13/4 giờ

Gọi vận tốc của ô tô đó là x ( km/h , x > 10 )

=> Vận tốc sau khi sửa xe = x - 10 ( km/h )

2/3 quãng đường là : 150 . 2/3 = 100(km)

=> Thời gian ô tô đi 2/3 quãng đường = 100/x ( giờ )

Độ dài quãng đường còn lại = 150 - 100 = 50(km)

=> Thời gian ô tô đi quãng đường còn lại = 50/x-10 ( giờ )

Tổng thời gian đi của ô tô là 13/4 giờ 

=> Ta có phương trình : \(\frac{100}{x}+\frac{50}{x-10}=\frac{13}{4}\)

                            <=> \(\frac{100\cdot4\cdot\left(x-10\right)}{4x\left(x-10\right)}+\frac{50\cdot x\cdot4}{4x\left(x-10\right)}=\frac{13x\left(x-10\right)}{4x\left(x-10\right)}\)

                            <=> \(\frac{400\left(x-10\right)}{4x\left(x-10\right)}+\frac{200x}{4x\left(x-10\right)}=\frac{13x^2-130x}{4x\left(x-10\right)}\)

                            <=> \(\frac{400x-4000}{4x\left(x-10\right)}+\frac{200x}{4x\left(x-10\right)}=\frac{13x^2-130x}{4x\left(x-10\right)}\)

                            <=> 400x - 4000 + 200x = 13x² - 130x

                            <=> 13x² - 130x - 600x + 4000 = 0

                            <=> 13x² - 730x + 4000 = 0 (1)

\(\Delta'=b'^2-ac=\left(-365\right)^2-13\cdot4000=133225-52000=81225\)

\(\Delta'>0\)nên (1) có hai nghiệm phân biệt 

\(\hept{\begin{cases}x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{365+285}{13}=50\left(tm\right)\\x_2=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{365-285}{13}=\frac{80}{13}\left(ktm\right)\end{cases}}\)

=> Vận tốc của ô tô = 50km/h

=> Thời gian người đó đi 2/3 quãng đường là : 100/50 = 2 ( giờ )

=> Ô tô hỏng lúc : 8 + 2 = 10 giờ

Đ/s : 10 giờ