lấy tạm 1 ví dụ thôi nhé!

Giải phương trình \(\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+4x\sqrt{2x}=x^3+10\)

ĐK: \(1\le x\le3\)

\(\sqrt{x-1}=\frac{1}{2}.2.1.\sqrt{x-1}\le\frac{1}{2}\left(1+x-1\right)=\frac{1}{2}.x\)    ( Cô - si )

\(\sqrt{3-x}=\frac{1}{2}.2.1.\sqrt{3-x}\le\frac{1}{2}\left(1+3-x\right)=2-\frac{1}{2}x\)

\(4x\sqrt{2x}=2.2.\sqrt{2}.\sqrt{x^3}\le8+x^3\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}+4x\sqrt{2x}\le x^3+10\)

Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}1=\sqrt{x-1}\\1=\sqrt{3-x}\\2\sqrt{2}=\sqrt{x^3}\end{cases}\Leftrightarrow x=2}\left(tmđk\right)\)

ĐK: \(x\ge\frac{-1}{2}\). Ta viết lại phương trình thành:

\(5x^4+\left(2x+1-2\sqrt{2x+1}+1\right)=0\)\(\Leftrightarrow5x^4+\left(\sqrt{2x+1}-1\right)^2=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\\sqrt{2x+1}-1=0\end{cases}}\)

=> x=0 là nghiệm của phương trình

ĐKXĐ: \(-1\le x\le1\)

Ta có:  \(\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=\frac{\sqrt{1+x+2\sqrt{1-x^2}+1-x}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{2}}\)

\(\sqrt{\left(1+x\right)^3}-\sqrt{\left(1-x\right)^3}=\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left(2+\sqrt{1-x^2}\right)\)

\(\Rightarrow A=\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{\left(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\right)\left(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\right)\left(2+\sqrt{1-x^2}\right)}{2+\sqrt{1-x^2}}=\frac{1}{\sqrt{2x}}\)

Ta có: \(x^2+2x+7=3\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\)               \(\left(ĐK:x\ge-3\right)\)

    \(\Leftrightarrow4x^2+8x+28=12\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}\)

    \(\Leftrightarrow4x^2+4-12\sqrt{\left(x^2+1\right)\left(x+3\right)}+9x+27=x+3\)

    \(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{x^2+1}-3\sqrt{x+3}\right)^2=x+3\)

    \(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2+1}-3\sqrt{x+3}=\sqrt{x+3}\)

    \(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2+1}=4\sqrt{x+3}\)

    \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{x+3}\)

    \(\Leftrightarrow x^2+1=4.\left(x+3\right)\)

    \(\Leftrightarrow x^2-4x-11=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(x^2-4x+4\right)-15=0\)

    \(\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=15\)

    \(\Leftrightarrow x-2=\pm\sqrt{15}\)

 +  \(x-2=\sqrt{15}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=2+\sqrt{15}\)\(\left(TM\right)\)

 +  \(x-2=-\sqrt{15}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=2-\sqrt{15}\)\(\left(TM\right)\)

Vậy \(S=\left\{2+\sqrt{15};2-\sqrt{15}\right\}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+1}=a\\\sqrt{x+3}=b\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2+1=a^2\\x+3=b^2\end{cases}\left(a,b>0\right)}}\)

Có phương trình mới : \(a^2+2b^2=3ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-2b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b\\a=2b\end{cases}}\)

Với \(a=b\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=\sqrt{x+3}\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-2=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}}\)thỏa mãn

Với \(a=2b\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=2\sqrt{x+3}\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=4x+12\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x-11=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2+\sqrt{15}\\x=2-\sqrt{15}\end{cases}}\)thỏa mãn

dùng cách trục căn thức là ra

Xét p=2 ( k thỏa mãn)

Xét p=3: \(2^p+p^2=17\)là số nguyên tố. Vậy p=3 thỏa mãn

Xét p>3: p² chia 3 dư 1

Vì p lẻ nên 2^p=2^2k+1=4^k.2 chia 3 dư 2 nên 2^p+p²  chia hết cho 3 mà 2^p+p²>3 nên sẽ là hợp số

KL: Vậy p=3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài.