Ta có: \(\frac{x}{1+y^2}=x-\frac{xy^2}{1+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2y}=x-\frac{xy}{2}\left(1\right)\)

Tương tự: \(\frac{y}{1+z^2}\ge y-\frac{yz}{2}\left(2\right);\frac{z}{1+x^2}\ge z-\frac{zx}{2}\left(3\right)\)

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức (1), (2), (3), ta được: \(VT\ge\left(x+y+z\right)-\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\left(x+y+z\right)-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}=VP\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

bài này thêm đk x,y,z dương

Đề bài này be bét quá, xin phép sửa lại

a) đk: \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne\left\{1;4\right\}\end{cases}}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\frac{x-2}{x-3\sqrt{x}+2}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\frac{x-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(P=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)+x-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(P=\frac{x-4\sqrt{x}+3-2x+3\sqrt{x}-2+x-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(P=\frac{-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

b) Ta có: \(P< 1\)

\(\Leftrightarrow-\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}< 0\)

Mà \(\sqrt{x}+1\ge1>0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}-1< 0\\\sqrt{x}-2>0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}0\le x< 1\\x>4\end{cases}}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\frac{x-2}{x-3\sqrt{x}+2}\)

ĐK : \(\hept{\begin{cases}x\ge0\\x\ne1\\x\ne4\end{cases}}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\frac{x-2}{x-\sqrt{x}-2\sqrt{x}+2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\frac{x-2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)-2\left(\sqrt{x}-1\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}+\frac{x-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{x-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-4\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{2x-5\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{x-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x-4\sqrt{x}+3-2x+5\sqrt{x}-2+x-2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

b) Để P < 1

=> \(\frac{1}{\sqrt{x}-2}< 1\)

<=> \(\frac{1}{\sqrt{x}-2}-1< 0\)

<=> \(\frac{1}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}< 0\)

<=> \(\frac{1-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}< 0\)

<=> \(\frac{3-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}< 0\)

Xét hai trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}3-\sqrt{x}>0\\\sqrt{x}-2< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\sqrt{x}>-3\\\sqrt{x}< 2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}< 3\\\sqrt{x}< 2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< 9\\x< 4\end{cases}}\Leftrightarrow x< 4\)

2. \(\hept{\begin{cases}3-\sqrt{x}< 0\\\sqrt{x}-2>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-\sqrt{x}< -3\\\sqrt{x}>2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}>3\\\sqrt{x}>2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>9\\x>4\end{cases}}\Leftrightarrow x>9\)

Kết hợp với ĐK => Với \(\orbr{\begin{cases}x\in\left\{0;2;3\right\}\\x>9\end{cases}}\)thì thỏa mãn đề bài

1) \(ĐK:\orbr{\begin{cases}0\le x\le2-\sqrt{3}\\x\ge2+\sqrt{3}\end{cases}}\)

\(x+1+\sqrt{x^2-4x+1}=3\sqrt{x}\Leftrightarrow x-5+\sqrt{x^2-4x+1}=3\sqrt{x}-6\)\(\Leftrightarrow\frac{-6\left(x-4\right)}{x-5-\sqrt{x^2-4x+1}}=\frac{9\left(x-4\right)}{3\sqrt{x}+6}\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(\frac{9}{3\sqrt{x}+6}+\frac{6}{x-5-\sqrt{x^2-4x+1}}\right)=0\)

Xét phương trình \(\frac{9}{3\sqrt{x}+6}+\frac{6}{x-5-\sqrt{x^2-4x+1}}=0\Leftrightarrow\left(18\sqrt{x}-9\right)+9\left(x-\sqrt{x^2-4x+1}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\frac{81\left(4x-1\right)}{18\sqrt{x}+9}+\frac{9\left(4x-1\right)}{x+\sqrt{x^2-4x+1}}=0\Leftrightarrow\left(4x-1\right)\left(\frac{81}{18\sqrt{x}+9}+\frac{9}{x+\sqrt{x^2-4x+1}}\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{81}{18\sqrt{x}+9}+\frac{9}{x+\sqrt{x^2-4x+1}}>0\)với mọi x thỏa mãn điều kiện nên 4x - 1 = 0 hay x = ¹/₄

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {4; ¹/₄}

e làm câu dễ nhất ^^

\(\sqrt{x+1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}=5\left(đk:-1\le x\le4\right)\)

\(< =>\left(\sqrt{x+1}-1\right)+\left(\sqrt{4-x}-2\right)+\left(\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)}-2\right)=0\)

\(< =>\frac{x}{\sqrt{x+1}+1}-\frac{x}{\sqrt{4-x}+2}+\frac{x\left(3-x\right)}{\sqrt{\left(x+1\right)\left(4-x\right)+2}}=0\)

\(< =>x=0\)

cách đầu tiên mình sẽ dùng công thức lượng giác hóa nhé !

\(pt< =>2x^3+x^2-x+\frac{1}{3}=0\)

Đặt các giá trị : \(\Delta=b^2-3ac=1^2-3.2.\left(-1\right)=1+6=7\)

\(k=\frac{9abc-2b^3-27a^2d}{2\sqrt{|\Delta|^3}}=\frac{9.2.\left(-1\right)-2.1^3-\frac{27.2^2.1}{3}}{2\sqrt{7^3}}=-\frac{18+2+36}{2.\sqrt{343}}=-\frac{28}{7\sqrt{7}}=-\frac{4}{\sqrt{7}}\)

Do \(\Delta>0;|k|=|-\frac{4}{\sqrt{7}}|=\frac{4}{\sqrt{7}}>1\)

Suy ra nghiệm của phương trình trên có dạng :

 \(x=\frac{\sqrt{\Delta}|k|}{3.a.k}\left(\sqrt[3]{|k|+\sqrt{k^2-1}}+\sqrt[3]{|k|-\sqrt{k^2-1}}\right)-\frac{b}{3a}\)

\(=\frac{\sqrt{7}.\frac{4}{\sqrt{7}}}{3.2.\left(-\frac{4}{\sqrt{7}}\right)}\left(\sqrt[3]{\frac{4}{\sqrt{7}}+\sqrt{\frac{16}{7}-1}}+\sqrt[3]{\frac{4}{\sqrt{7}}-\sqrt{\frac{16}{7}-1}}\right)-\frac{1}{3.2}\)

\(=-\frac{\sqrt{7}}{6}\left(\sqrt[3]{\frac{4}{\sqrt{7}}+\frac{3\sqrt{7}}{7}}+\sqrt[3]{\frac{4}{\sqrt{7}}-\frac{3\sqrt{7}}{7}}\right)-\frac{1}{6}\)

\(=-\frac{\sqrt{7}}{6}\left(\sqrt[3]{\frac{4+3}{\sqrt{7}}}+\sqrt[3]{\frac{4-3}{\sqrt{7}}}\right)-\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{7}}{6}\left(\sqrt[3]{\sqrt{7}}+\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{7}}}\right)-\frac{1}{6}\)

Vậy \(x=-\frac{\sqrt{7}}{6}\left(\sqrt[3]{\sqrt{7}}+\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{7}}}\right)-\frac{1}{6}\)

và đây là phương pháp Cardano ^^

\(pt< =>x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}=0\)

Đặt \(x=y-\frac{1}{6}\)thì phương trình trở thành : \(\left(y-\frac{1}{6}\right)^3+\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{6}\right)^2-\frac{1}{2}\left(y-\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{6}=0\)

\(< =>y^3-3.y^2.\frac{1}{6}+3.y.\frac{1}{36}-\frac{1}{216}+\frac{1}{2}\left(y^2-\frac{y}{3}+\frac{1}{36}\right)-\frac{1}{2}y+\frac{1}{12}+\frac{1}{6}=0\)

\(< =>y^3-\frac{y^2}{2}+\frac{y}{12}-\frac{1}{216}+\frac{y^2}{2}-\frac{y}{6}+\frac{1}{72}-\frac{y}{2}+\frac{1}{4}=0\)

\(< =>y^3+\frac{y}{12}-\frac{2y}{12}-\frac{6y}{12}+\frac{1}{4}+\frac{1}{72}-\frac{1}{216}=0\)\(< =>y^3+\frac{7}{12}y+\frac{7}{27}=0\)

Đặt \(y=u+v\)sao cho \(uv=-\frac{7}{36}\)Khi đó ta được phương trình : \(\left(u+v\right)^3+\frac{7}{12}\left(u+v\right)+\frac{7}{27}=0\)

\(< =>u^3+v^3+3uv\left(u+v\right)+\frac{7}{12}\left(u+v\right)+\frac{7}{27}=0\)

\(< =>u^3+v^3+\left(u+v\right)\left(3uv+\frac{7}{12}\right)+\frac{7}{27}\)\(< =>u^3+v^3=-\frac{7}{27}\)(*) (Do 3uv + 7/12 = 0) 

Từ \(uv=-\frac{7}{36}< =>u^3v^3=-\frac{343}{46656}\)(**) Từ (*) và (**) Suy ra được hệ \(\hept{\begin{cases}u^3+v^3=-\frac{7}{27}\\u^3v^3=-\frac{343}{46656}\end{cases}}\)

Theo định lý Vi-ét , \(u^3\)và \(v^3\)là 2 nghiệm của phương trình \(x^2+\frac{7}{27}x-\frac{343}{46656}=0\)

Đặt giá trị \(\Delta=\frac{\left(\frac{7}{27}\right)^2}{4}+\frac{343}{46656}=\frac{49}{729.4}+\frac{343}{46656}=\frac{1127}{46656}>0\)

Do \(\Delta>0\)nên ta được : \(u^3=-\frac{\frac{7}{27}}{2}+\sqrt{\frac{1127}{46656}}=-\frac{7}{54}+\frac{4}{25}=\frac{41}{1350}\)

\(v^3=-\frac{\frac{7}{27}}{2}-\sqrt{\frac{1127}{46656}}=-\frac{7}{54}-\frac{4}{25}=-\frac{391}{1350}\)

Như vậy phương trình biến y có nghiệm là : \(y=\sqrt[3]{\frac{\left(-\frac{7}{27}\right)^2}{2}+\sqrt{\frac{1127}{46656}}}+\sqrt[3]{\frac{\left(-\frac{7}{27}\right)^2}{2}-\sqrt{\frac{1127}{46656}}}\)

\(=\sqrt[3]{\frac{49}{729.2}+\frac{4}{25}}+\sqrt[3]{\frac{49}{729.2}-\frac{4}{25}}=\sqrt[3]{\frac{49}{1458}+\frac{4}{25}}+\sqrt[3]{\frac{49}{1458}-\frac{4}{25}}\)

Suy ra \(x=\sqrt[3]{\frac{49}{1458}+\frac{4}{25}}+\sqrt[3]{\frac{49}{1458}-\frac{4}{25}}-\frac{1}{6}\)

mình có vẻ tính nhầm chỗ nào đó rồi , bạn cố gắng tìm lại lỗi sai nhé ^^

Bài 1:

a) \(5\sqrt{\frac{1}{5}}+\frac{1}{3}\sqrt{45}+\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)

\(=\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{5}-1\)

\(=3\sqrt{5}-1\)

b) \(\sqrt{48}-6\sqrt{\frac{1}{3}}+\frac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}\)

\(=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}+1-\sqrt{3}\)

\(=\sqrt{3}+1\)

c) \(\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{5}}\right)\div\left(\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\right)\)

\(=\left(-\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)\div\frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{5-2}\)

\(=-\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)\cdot\frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}\)

\(=-3\)

Bài 2:

đk: \(x\ge1\)

Ta có: \(\sqrt{4x+4}-\sqrt{9x-9}-8\sqrt{\frac{x+1}{16}}=5\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+1}-3\sqrt{x-1}-2\sqrt{x+1}=5\)

\(\Leftrightarrow-3\sqrt{x-1}=5\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-1}=-\frac{5}{3}\) (vô lý)

=> PT vô nghiệm

(với 0<x<3) nha mn

\(=\frac{2\sqrt{x}}{x-3}.\frac{\sqrt{\left(x-3\right)^2}}{\sqrt{x}}=\frac{2\left(x-3\right)}{x-3}=-2\)

khó quá hà ! lên mạng tìm nha ráng lên :0