\(\sqrt{x}+2\sqrt{x+3}=x+4\left(đkxđ:x\ge-3\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}+4\sqrt{x+3}=2x+8\)

\(\Leftrightarrow2x+8-2\sqrt{x}-4\sqrt{x+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\sqrt{x}+1\right)+x+3-4\sqrt{x+3}+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{x+3}-2\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x}-1\right)^2=0\\\left(\sqrt{x+3}-2\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{x+3}-2=0\end{cases}\Leftrightarrow}x=1\left(tmđk\right)}\)

Vậy x=1 là nghiệm của phương trình

\(ĐK:x\ge0\)

\(\sqrt{x}+2\sqrt{x+3}=x+4\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-x\right)+2\left(\sqrt{x+3}-2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\frac{x\left(1-x\right)}{\sqrt{x}+x}+2.\frac{x-1}{\sqrt{x+3}+2}=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{2}{\sqrt{x+3}+2}-\frac{x}{\sqrt{x}+x}\right)=0\)(Đến đây có thêm điều kiện x khác 0)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\\frac{2}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{x}{\sqrt{x}+x}\end{cases}}\)

Xét phương trình \(\frac{2}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{x}{\sqrt{x}+x}\Leftrightarrow2\sqrt{x}+2x=x\sqrt{x+3}+2x\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{x}=x\sqrt{x+3}\Leftrightarrow4x=x^2\left(x+3\right)\Leftrightarrow x^3+3x^2-4x=0\)\(\Leftrightarrow x\left(x+4\right)\left(x-1\right)=0\Rightarrow x=1\)(Vì x = 0; x = -4 không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất là 1

a) Kẻ BK vuông góc với AC(K thuộc AC), kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC)

Ta có: \(\sin B.\cos C+\cos B.\sin C=\sin\widehat{ABC}.\cos C+\cos\widehat{ABC}.\sin C=\frac{AH}{AB}.\frac{CH}{AC}+\frac{BH}{AB}.\frac{AH}{AC}\)

\(\sin B.\cos C+\cos B.\sin C=\frac{AH}{AB.AC}.\left(CH+BH\right)=\frac{AH.BC}{AB.AC}=\frac{AC.BK}{AB.AC}=\frac{BK}{AB}\)

Mặt khác: \(\sin\left(B+C\right)=\sin\widehat{KAB}=\frac{BK}{AB}\)

Từ đó, ta có đpcm

Bài 2:

\(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}=3\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}=1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}+1-\frac{1}{d+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}>0\)

Tương tự:

\(\frac{1}{b+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{cda}{\left(c+1\right)\left(d+1\right)\left(a+1\right)}}>0\);\(\frac{1}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{dab}{\left(d+1\right)\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}>0\);

\(\frac{1}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}>0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+1}.\frac{1}{b+1}.\frac{1}{c+1}.\frac{1}{d+1}\ge3^4\sqrt[3]{\frac{\left(abcd\right)^3}{\left[\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)\right]^3}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\frac{abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)

\(\Leftrightarrow abcd\le\frac{1}{81}\)

Dấu "="xảy ra khi \(a=b=c=d?\). Không chắc lắm.

Sửa một chút:

Bài 2: Thay dấu "=" bởi lớn hơn hoặc bằng, không có gì cả (nãy nhìn nhầm)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}\ge1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}+1-\frac{1}{d+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\)

\(\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}>0\left(AM-GM\right)\)

\(ĐK:-1\le x\le8\)

Đặt \(\sqrt{1+x}=u;\sqrt{8-x}=v\)thì \(\left(u+v\right)^2=9+2\sqrt{uv}\Rightarrow\sqrt{uv}=\frac{\left(u+v\right)^2-9}{2}\)

Phương trình lúc này có dạng \(\left(u+v\right)+\frac{\left(u+v\right)^2-9}{2}=3\Leftrightarrow\left(u+v\right)^2+2\left(u+v\right)-15=0\)\(\Leftrightarrow\left(u+v+5\right)\left(u+v-3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}u+v=-5\left(L\right)\\u+v=3\left(tm\right)\end{cases}}\)

Như vậy, \(u+v=3\Rightarrow\sqrt{uv}=\frac{3^2-9}{2}=0\Rightarrow uv=0\)

u, v là hai nghiệm của phương trình \(t^2-3t=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=3\\t=0\end{cases}}\)

* Nếu u = 3, v = 0 thì \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1+x}=3\\\sqrt{8-x}=0\end{cases}}\Rightarrow x=8\left(tm\right)\)

* Nếu u = 0, v = 3 thì \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1+x}=0\\\sqrt{8-x}=3\end{cases}}\Rightarrow x=-1\left(tm\right)\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{-1;8\right\}\)

thể giải thích chỗ \(\left(u+v\right)^2=9+2\sqrt{uv}\) đc ko