Không mất tính tổng quát giả sử \(a=m\text{ax}\left\{a,b,c\right\}\Rightarrow a\ge\frac{1}{3}\)

BĐT tương đương với: \(a^3+\left(b+c\right)^3-3\left(b+c\right)bc+6abc\ge\frac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow a^3+\left(1-a\right)^3-3\left(1-a\right)bc+6abc-\frac{1}{4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow4\left(3a-1\right)bc+\left(2a-1\right)^2\ge0\)

BĐT cuối cùng. đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2},c=0\)hoặc các hoán vị

Vậy ta chỉ cần chứng minh: \(f\left(t\right)=\left(9a-4\right)t+\left(2a-1\right)^2\ge0,\forall t\in\text{ }\left[0;\left(\frac{1-a}{2}\right)^2\right]\)

Do f(t) là hàm nghịch biến nên \(f\left(t\right)\ge f\left[\left(\frac{1-a}{2}\right)^2\right]=\frac{1}{4}a\left(3a-1\right)^2\ge0\)

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1/3

Hệ pt \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+3y=3x-3xy\left(1\right)\\\left(x^2+3y\right)^2+3x^2y-5x^2=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Thay (1) vào (2) ta được: \(x^2\left(9y^2-15y+4\right)=0\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\Rightarrow y=0\\y=\frac{1}{3}\Rightarrow x=1\\y=\frac{4}{3}\Rightarrow x^2+x+4=0\left(VN\right)\end{cases}}\)

CÁM ƠN BẠN NHIỀU, NHƯNG MÌNH LÀM ĐƯỢC BÀI NÀY RỒI, CÁM ƠN VÀ XIN LỖI BẠN !

Ta có: \(\sqrt{\frac{xyz}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)\left(z^2+1\right)}}\)

\(\le\sqrt{\frac{xyz}{2x\cdot2y\cdot2z}}=\sqrt{\frac{xyz}{8xyz}}\)

\(=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{4}< \frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

=> Không thể xảy ra đẳng thức

=> Đề sai

Đặt biểu thức là (1)

Nhân hai vế của (1) cho \(\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\)ta có:

\(-3\left(y+\sqrt{y^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^2+3}\right)\left(2\right)\)

Nhân hai vế của (1) cho \(\left(y-\sqrt{y^2+3}\right)\)ta có:

\(-3\left(x+\sqrt{x^2+3}\right)=3\left(y-\sqrt{y^2+3}\right)\left(3\right)\)

Cộng (2) và (3) ta có: \(-3\left(y+\sqrt{y^2+3}+x+\sqrt{x^2+3}\right)=3\left(x-\sqrt{x^2+3}+y-\sqrt{y^2+3}\right)\)

\(\Leftrightarrow6\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow x+y=0\)

Kết luận: x+y=0