a) \(\sqrt {6{x^2} + 13x + 13}  = 2x + 4\)    

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}6{x^2} + 13x + 13 = 4{x^2} + 16x + 16\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 3 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{{3 - \sqrt {33} }}{4}\) hoặc \(x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{4}\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả 2 giá trị \(x = \frac{{3 - \sqrt {33} }}{4}\) và \(x = \frac{{3 + \sqrt {33} }}{4}\) đều thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\frac{{3 - \sqrt {33} }}{4};\frac{{3 + \sqrt {33} }}{4}} \right\}\)

b) \(\sqrt {2{x^2} + 5x + 3}  =  - 3 - x\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 5x + 3 = 9 + 6x + {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x =  - 2\) hoặc \(x = 3\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

c) \(\sqrt {3{x^2} - 17x + 23}  = x - 3\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}3{x^2} - 17x + 23 = {x^2} - 6x + 9\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 11x + 14 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x = \frac{7}{2}\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy \(x = \frac{7}{2}\) thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{7}{2}\)                  

d) \(\sqrt { - {x^2} + 2x + 4}  = x - 2\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l} - {x^2} + 2x + 4 = {x^2} - 4x + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 6x = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 3\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x=3 thỏa mãn

Vậy nghiệm của phương trình là x=3

a) \(\sqrt {3{x^2} - 4x - 1}  = \sqrt {2{x^2} - 4x + 3} \)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}3{x^2} - 4x - 1 = 2{x^2} - 4x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = 2\) hoặc \(x =  - 2\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả 2 giá trị x=2; x=-2 thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { - 2;2} \right\}\)

b) \(\sqrt {{x^2} + 2x - 3}  = \sqrt { - 2{x^2} + 5} \)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}{x^2} + 2x - 3 =  - 2{x^2} + 5\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 8 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x =  - 2\) hoặc \(x = \frac{4}{3}\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ có giá trị \(x = \frac{4}{3}\) thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(x = \frac{4}{3}\)

c) \(\sqrt {2{x^2} + 3x - 3}  = \sqrt { - {x^2} - x + 1} \)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}2{x^2} + 3x - 3 =  - {x^2} - x + 1\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 4\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x =  - 2\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy cả 2 giá trị đều không thỏa mãn.

Vậy phương trình vô nghiệm

d) \(\sqrt { - {x^2} + 5x - 4}  = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 2} \)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(\begin{array}{l} - {x^2} + 5x - 4 =  - 2{x^2} + 4x + 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x =  - 3\) hoặc \(x = 2\)

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho, ta thấy x=2 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = 2.

Giả sử bác Việt chèo thuyền cập bến ở vị trí M và ta đặt BM=x (km) (x>0)

Ta có: MC=BC-BM=9,25-x (km)

Thời gian di chuyển của anh Nam đến điểm hẹn gặp nhau là \(\frac{{9,25 - x}}{5}\)\(\)(giờ)

Tam giác ABM vuông tại B, nên ta có:

\(\)\(A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} = {x^2} + 16\)

=> \(AM = \sqrt {{x^2} + 16} \) (km)

Thời gian di chuyển của bác Việt đến điểm hẹn găp nhau là: \(\frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{4}\) (giờ)

Để hai người không phải chờ nhau thì ta có phương trình:

\(\frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{4} = \frac{{9,25 - x}}{5}\)\( \Leftrightarrow 5\sqrt {{x^2} + 16}  = 37 - 4x\)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

\(25({x^2} + 16) = 16{x^2} - 296x + 1369\)

\( \Leftrightarrow 9{x^2} + 296x - 969 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 3\) hoặc \(x =  - \frac{{323}}{9}\)

Thử lại ta thấy cả hai giá trị của x đều thỏa mãn

Mà x>0 nên ta chọn x=3

Vậy vị trí hai người gặp nhau cách bến Bính 3km và cách thôn Hoành 6,25 km.

a) \(\sqrt {2{x^2} + x + 3}  = 1 - x\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

\(2{x^2} + x + 3 = 1 - 2x + {x^2}\)

Sau khi thu gọn ta được \({x^2} + 3x + 2 = 0\). Từ đó x=-1 hoặc x=-2

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị \(x =  - 1;x =  - 2\) đều thỏa mãn

Vậy phương trình có tập nghiệm \(S = \left\{ { - 1; - 2} \right\}\)

b) \(\sqrt {3{x^2} - 13x + 14}  = x - 3\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\(3{x^2} - 13x + 14 = {x^2} - 6x + 9\)

Sau khi thu gọn ta được \(2{x^2} - 7x + 5 = 0\). Từ đó \(x = 1\) hoặc \(x = \frac{5}{2}\)

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào của x thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm.

a) Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {26{x^2} - 63x + 38}  = 5x - 6\) ta được:

\(26{x^2} - 63x + 38 = {(5x - 6)^2}\)

\( \Leftrightarrow 26{x^2} - 63x + 38 = 25{x^2} - 60x + 36\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(x = 2\)

b) Thử lại:

Với x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được: 

\(\sqrt {{{26.1}^2} - 63.1 + 38}  = 5.1 - 6\)

\( \Leftrightarrow 1 =  - 1\)(vô lý)

Với x=2 thay vào phương trình đã cho ta được:

\(\sqrt {{{26.2}^2} - 63.2 + 38}  = 5.2 - 6\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {16}  = 4 \Leftrightarrow 4 = 4\) (luôn đúng)

Vậy giá trị x=2 thỏa mãn phương trình đã cho.

a) \(\sqrt {3{x^2} - 6x + 1}  = \sqrt { - 2{x^2} - 9x + 1} \)

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {3{x^2} - 6x + 1}  = \sqrt { - 2{x^2} - 9x + 1} \) ta được

\(3{x^2} - 6x + 1 =  - 2{x^2} - 9x + 1\)

\( \Leftrightarrow 5{x^2} + 3x = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {5x + 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \frac{{ - 3}}{5}\)

Thay lần lượt hai giá trị này của x vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị x = 0 và \(x = \frac{{ - 3}}{5}\) đều thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S = \left\{ {0;\frac{{ - 3}}{5}} \right\}\)

b) \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 5}  = \sqrt {{x^2} - 7} \)

Bình phương hai vế của phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 3x - 5}  = \sqrt {{x^2} - 7} \) , ta được

\(2{x^2} - 3x - 5 = {x^2} - 7\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 1\) hoặc \(\)\(x = 2\)

 Thay lần lượt giá trị của x vào phương trình đã cho, ta thấy không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

a) Bình phương hai vế của phương trình\(\sqrt {{x^2} - 3x + 2}  = \sqrt { - {x^2} - 2x + 2} \)ta được:

\({x^2} - 3x + 2 =  - {x^2} - 2x + 2\)(1)

Giải phương trình trên ta có:

\((1) \Leftrightarrow 2{x^2} - x = 0\)

\( \Leftrightarrow x(2x - 1) = 0\)

\( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \frac{1}{2}\)

b) Thử lại ta có:

Với x=0, thay vào phương trình đã cho ta được: \(\sqrt {{0^2} - 3.0 + 2}  = \sqrt { - {0^2} - 2.0 + 2}  \Leftrightarrow \sqrt 2  = \sqrt 2 \) (luôn đúng)

Với \(x = \frac{1}{2}\), thay vào phương trình đã cho ta được:

\(\sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 3.\frac{1}{2} + 2}  = \sqrt { - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 2.\frac{1}{2} + 2}  \Leftrightarrow \sqrt {\frac{3}{4}}  = \sqrt {\frac{3}{4}} \) (luôn đúng)

Vậy các giá trị x tìm được ở câu a thỏa mãn phương trình đã cho.

Ta có: AM<AB nên \(0 < x < 4\)

Diện tích hình tròn đường kính AB là \({S_0} = \pi .{\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} = 4\pi \)

Diện tích hình tròn đường kính AM là \({S_1} = \pi .{\left( {\frac{{AM}}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi .{x^2}}}{4}\)

Diện tích hình tròn đường kính MB là \({S_2} = \pi .{\left( {\frac{{MB}}{2}} \right)^2} = \pi .\frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\)

Diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ là \(S(x) = {S_0} - {S_1} - {S_2} = 4\pi  - \frac{{{x^2}}}{4}\pi  - \frac{{{{\left( {4 - x} \right)}^2}}}{4}\pi  = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{2}\pi \)

Vì diện tich S(x) không vượt quá 1 nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ nên:

\(S(x) \le \frac{1}{2}\left( {{S_1} + {S_2}} \right)\)

Khi đó : \(\frac{{ - {x^2} + 4x}}{2}\pi  \le \frac{1}{2}.\frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\pi \)

\( \Leftrightarrow  - {x^2} + 4x \le \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{2}\)

\( \Leftrightarrow  - 2{x^2} + 8x \le {x^2} - 4x + 8\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 12x + 8 \ge 0\)

Xét tam thức \(3{x^2} - 12x + 8\) có \(\Delta ' = 12 > 0\) nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} = \frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3};{x_2} = \frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}\)

Mặt khác a=3>0, do đó ta có bảng xét dấu:

Do đó \(f(x) \ge 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\)

Mà 0<x<4 nên \(x \in \left( { - \infty ;\frac{{6 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right] \cup \left[ {\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\)

Quãng đường vật rơi được sau t(s) là: \(h(t) = 20t + \frac{1}{2}.9,8.{t^2} = 4,9.{t^2} + 20t\)

Để vật cách mặt đất không quá 100m thì \(320 - h(t) \le 100 \Leftrightarrow h(t) \ge 220 \Leftrightarrow 4,9{t^2} + 20t - 220 \ge 0 \)

Tam thức \(f(t) = 4,9{t^2} + 20t - 220\) có \(\Delta ' = 1178 > 0\) nên f(t) có 2 nghiệm phân biệt \({t_1} =  \frac {- 10 - \sqrt 1178}{4,9} ;{t_2} =  \frac {- 10 + \sqrt 1178}{4,9} \) (t>0)

Mặt khác a=1>0 nên ta có bảng xét dấu:

Do t > 0 nên \(t \ge   \frac {- 10 + \sqrt 1178}{4,9}\approx 5 \)

Vậy sau ít nhất khoảng 5 \(s\) thì vật đó cách mặt đất không quá 100m

Để tam thức bậc hai \({x^2} + (m + 1)x + 2m + 3 > 0\)với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Ta có: a = 1 >0 nên \(\Delta  < 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(m + 1)^2} - 4.(2m + 3) < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - 8m - 12 < 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m - 11 < 0\end{array}\)

Tam thức \(f(m) = {m^2} - 6m - 11\) có \(\Delta ' = 20 > 0\) nên f(x) có 2 nghiệm phân biệt \({m_1} =  3+\sqrt{20}; {m_2} = 3-\sqrt{20}\)

Khi đó 

\(  3+\sqrt{20} < m < 3-\sqrt{20}\)

Vậy \(  3+\sqrt{20} < m < 3-\sqrt{20}\)