a) \(ĐK:y-2x+1\ge0;4x+y+5\ge0;x+2y-2\ge0,x\le1\)

Th1: \(\hept{\begin{cases}y-2x+1=0\\3-3x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}0=0\\-1=\sqrt{10}-1\end{cases}}\)(không thỏa mãn)

Th2: \(x,y\ne1\)

\(2x^2-y^2+xy-5x+y+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}\)\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(2x-y-1\right)=\frac{x+y-2}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}\)\(\Leftrightarrow\left(x+y-2\right)\left(\frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}+y-2x+1\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{1}{\sqrt{y-2x+1}+\sqrt{3-3x}}+y-2x+1>0\)nên x + y - 2 = 0

Thay y = 2 - x vào phương trình \(x^2-y-1=\sqrt{4x+y+5}-\sqrt{x+2y-2}\), ta được: \(x^2+x-3=\sqrt{3x+7}-\sqrt{2-x}\)\(\Leftrightarrow x^2+x-2=\sqrt{3x+7}-1+2-\sqrt{2-x}\)\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-1\right)=\frac{3\left(x+2\right)}{\sqrt{3x+7}+1}+\frac{x+2}{2+\sqrt{2-x}}\)\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(\frac{3}{\sqrt{3x+7}+1}+\frac{1}{2+\sqrt{2-x}}+1-x\right)=0\)

Vì \(x\le1\)nên\(\frac{3}{\sqrt{3x+7}+1}+\frac{1}{2+\sqrt{2-x}}+1-x>0\)suy ra x = -2 nên y = 4

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (-2;4)

b) \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2=5\\x^3+2y^3=10x-10y\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\left(x^2+y^2\right)=10\left(1\right)\\x^3+2y^3=10\left(x-y\right)\left(2\right)\end{cases}}\)

Thay (1) vào (2), ta được: \(x^3+2y^3=2\left(x^2+y^2\right)\left(x-y\right)\Leftrightarrow\left(2y-x\right)\left(x^2+2y^2\right)=0\)

* Th1: \(x^2+2y^2=0\)(*)

Mà \(x^2\ge0\forall x;2y^2\ge0\forall y\Rightarrow x^2+2y^2\ge0\)nên (*) xảy ra khi x = y = 0 nhưng cặp nghiệm này không thỏa mãn hệ

* Th2: 2y - x = 0 suy ra x = 2y thay vào (1), ta được: \(y^2=1\Rightarrow y=\pm1\Rightarrow x=\pm2\) 

Vậy hệ có 2 nghiệm \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(2;1\right);\left(-2;-1\right)\right\}\)

Xét bất đẳng thức phụ\(\sqrt{\frac{a^3}{a^3+\left(b+c\right)^3}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)(*)

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\ge a\left(b+c\right)^3\)

Áp dụng kết hợp bất đẳng thức Bunyakovsky dạng phân thức và bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2a^2\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)^2\ge a^2\left(b+c\right)^2+\frac{\left(b+c\right)^4}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(b+c\right)^6}{4}}=\left(b+c\right)^3\)

Vậy bất đẳng thức phụ trên là đúng. Tương tự rồi cộng lại ta được \(VT\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi 3 biến bằng nhau hoặc có 2 biến dần về 0

qua hoidap247

Ta có:

\(H=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{\frac{1}{x^2}}{x\left(y+z\right)}+\frac{\frac{1}{y^2}}{y\left(z+x\right)}+\frac{\frac{1}{z^2}}{z\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{\left(\frac{1}{x}\right)^2}{xy+zx}+\frac{\left(\frac{1}{y}\right)^2}{yz+xy}+\frac{\left(\frac{1}{z}\right)^2}{zx+yz}\)

Áp dụng BĐT Bunyakovsky dạng cộng mẫu ta được:

\(H\ge\frac{\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(\frac{xy+yz+zx}{xyz}\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=\frac{xy+yz+zx}{2}\ge\frac{3\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z = 1

Vậy Min(H) = 3/2 khi x = y = z = 1

Áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel:

\(VT\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)+2\left(x+y+z\right)+3\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Áp dụng BĐT AM - GM cho 2 số dương, ta được: \(\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)\ge2\sqrt{\frac{x^2}{x+2y+3z}.\frac{1}{36}\left(x+2y+3z\right)}=\frac{1}{3}x\Rightarrow\frac{x^2}{x+2y+3z}\ge\frac{11}{36}x-\frac{1}{18}y-\frac{1}{12}z\)Tương tự, ta có: \(\frac{y^2}{y+2z+3x}\ge\frac{11}{36}y-\frac{1}{18}z-\frac{1}{12}x\); \(\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{11}{36}z-\frac{1}{18}x-\frac{1}{12}y\)

Cộng theo vế của 3 bất đẳng thức trên, ta được: \(G=\frac{x^2}{x+2y+3z}+\frac{y^2}{y+2z+3x}+\frac{z^2}{z+2x+3y}\ge\frac{1}{6}\left(x+y+z\right)=1\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2

2. \(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\ge1\)

Đặt\(\frac{2}{a}=x;\frac{2}{b}=y;\frac{2}{c}=z\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=8\end{cases}}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge1\Leftrightarrow\left(yz+y+z+1\right)+\left(zx+z+x+1\right)+\left(xy+x+y+1\right)\ge xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\)\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)(Đúng vì \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=6\))

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1

3. Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)

Ta có đánh giá quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Từ đó suy ra \(ab+bc+ca\le1\)

\(A=\frac{\sqrt{a^2+1}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{a+b}\ge\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{a+b}\)\(=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{b+c}+\frac{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}{c+a}+\frac{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=3\)Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

ĐKXĐ : x > 0 ; x ≠ 1 ; x ≠ 4

a) \(A=\left(1-\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}\right)\div\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\left(\frac{x-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\div\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\left(\frac{x-1-4\sqrt{x}+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\right)\div\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\frac{x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\times\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}\)

b) Với x = \(11-6\sqrt{2}\)

\(A=\frac{\sqrt{11-6\sqrt{2}}-3}{\sqrt{11-6\sqrt{2}}-2}\)

\(=\frac{\sqrt{2-6\sqrt{2}+9}-3}{\sqrt{2-6\sqrt{2}+9}-2}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2-2\cdot\sqrt{2}\cdot3+3^2}-3}{\sqrt{\left(\sqrt{2}\right)^2-2\cdot\sqrt{2}\cdot3+3^2}-2}\)

\(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{2}-3\right)^2}-3}{\sqrt{\left(\sqrt{2}-3\right)^2}-2}\)

\(=\frac{\left|\sqrt{2}-3\right|-3}{\left|\sqrt{2}-3\right|-2}\)

\(=\frac{3-\sqrt{2}-3}{3-\sqrt{2}-2}=\frac{-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\)

c) Ta có : \(A=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}-2-1}{\sqrt{x}-2}=1-\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Để A nguyên => \(\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)nguyên

=> \(1⋮\sqrt{x}-2\)

=> \(\sqrt{x}-2\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

=> \(\sqrt{x}\in\left\{3;1\right\}\)

=> \(x=9\)( không nhận x = 1 do ĐKXĐ )

d) Để A = -2

=> \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}=-2\)( x > 0 ; x ≠ 1 ; x ≠ 4 )

=> \(\sqrt{x}-3=-2\sqrt{x}+4\)

=> \(\sqrt{x}+2\sqrt{x}=4+3\)

=> \(3\sqrt{x}=7\)

=> \(9x=49\)( bình phương hai vế )

=> \(x=\frac{49}{9}\)( tm )

e) Để A có giá trị âm

=> \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}< 0\)

Xét hai trường hợp :

1.\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-3>0\\\sqrt{x}-2< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}>3\\\sqrt{x}< 2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>9\\x< 4\end{cases}}\)( loại )

2. \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-3< 0\\\sqrt{x}-2>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}< 3\\\sqrt{x}>2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< 9\\x>4\end{cases}}\Leftrightarrow4< x< 9\)

Vậy với 4 < x < 9 thì A có giá trị âm

f) Để A < -2

=> \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}< -2\)

=> \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}+2< 0\)

=> \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}+\frac{2\sqrt{x}-4}{\sqrt{x-2}}< 0\)

=> \(\frac{3\sqrt{x}-7}{\sqrt{x}-2}< 0\)

Xét hai trường hợp :

1. \(\hept{\begin{cases}3\sqrt{x}-7< 0\\\sqrt{x}-2>0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3\sqrt{x}< 7\\\sqrt{x}>2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}9x< 49\\x>4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x< \frac{49}{9}\\x>4\end{cases}}\Leftrightarrow4< x< \frac{49}{9}\)

2. \(\hept{\begin{cases}3\sqrt{x}-7>0\\\sqrt{x}-2< 0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3\sqrt{x}>7\\\sqrt{x}< 2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}9x>49\\x< 4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x>\frac{49}{9}\\x< 4\end{cases}}\)( loại )

Vậy với 4 < x < 49/9 thì A < -2

g) Để \(A>\sqrt{x}-1\)

=> \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}>\sqrt{x}-1\)

=> \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\left(\sqrt{x}-1\right)>0\)

=> \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}>0\)

=> \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}-\frac{x-3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}>0\)

=> \(\frac{-x+4\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-2}>0\)

Ta có : \(-x+4\sqrt{x}-5=-\left(x-4\sqrt{x}+4\right)-1=-\left(\sqrt{x}-2\right)^2-1\le-1< 0\left(\forall\ge0\right)\)

Nên để A > 0 thì ta chỉ cần xét \(\sqrt{x}-2< 0\)

\(\sqrt{x}-2< 0\Leftrightarrow\sqrt{x}< 2\Leftrightarrow x< 4\)

Kết hợp với ĐKXĐ => \(\hept{\begin{cases}0< x< 4\\x\ne1\end{cases}}\)thì tm