\(\text{ta có n/x sau: số chính phương lẻ thì chia 4 dư 1}\)

\(\text{Nếu a chẵn thì: }a^2⋮4\text{ mà }a^2+2022\text{ chẵn và là số chính phương nên:}\)

\(a^2+2022⋮4\Rightarrow2022⋮4\left(\text{vô lí}\right)\)

tương tự với a lẻ thì a^2+2022 chia 4 dư 1 => a^2 chia 4 dư 1 (vô lí)

phương trình  vô nghiệm

Ta có : \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2< =>ab+bc+ca=0< =>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)

Đặt \(\left\{\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right\}\rightarrow\left\{x;y;z\right\}\)bài toán trở thành  : Cho \(x+y+z=0\)Tính \(P=\frac{1}{xyz}\left(x^3+y^3+z^3\right)\)

Theo giả thiết  \(x+y+z=0< =>x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Suy ra \(P=\frac{1}{xyz}.\left(x^3+y^3+z^3\right)=\frac{3xyz}{xyz}=3\)

Vậy P = 3 

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)

\(\Rightarrow P=\frac{-ab-ac}{a^2}+\frac{-bc-ab}{b^2}+\frac{-ca-cb}{c^2}=\frac{-b-c}{a}+\frac{-a-c}{b}+\frac{-a-b}{c}\)

Bổ đề: Số lập phương bất kì khi chia cho 7 thì dư 0, 1, 6 (*)

+) Xét abc chia hết cho 7 thì hiển nhiên ta có điều phải chứng minh

+) Xét abc không chia hết cho 7 thì trong ba số a, b, c không có số nào chia hết cho 7 suy ra \(a^3,b^3,c^3\)không chia hết cho 7

Theo bổ đề (*) thì \(a^3,b^3,c^3\)chia 7 dư 1 hoặc 6

Có 3 số mà chỉ có 2 số dư nên theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất hai số cùng số dư do đó hiệu của chúng chia hết cho 7

Vậy \(abc\left(a^3-b^3\right)\left(b^3-c^3\right)\left(c^3-a^3\right)⋮7\left(đpcm\right)\)

Một số lập phương khi chia cho 7 có số dư là 0, 1, hoặc 6. Nên nếu abc không chia hết cho 7 thì ít nhất 2 trong 3 số a^3, b^3, và c^3 phải cùng số dư khi chia cho 7.

Suy ra dpcm

Nếu n =3k, ta có n^4 +1 = (3n^3-2)k +2k +1chia hết cho 2n^3-2

Suy ra 2k+1 chia hết cho 3n^3-2, không có nghiệm.

Nếu n=3k+1, ta có n^4 +1 = (3n^3-2)k + n^3 + 2k +1chia hết cho 2n^3-2

Suy ra n=1

Tương tự cho TH n=3k+2...