Gọi \(M\left(2+2t;3+t\right)\)

M có tọa độ nguyên \(\Leftrightarrow t\) nguyên

\(\overrightarrow{AM}=\left(2+2t;2+t\right)\) \(\Rightarrow AM=\sqrt{\left(2+2t\right)^2+\left(2+t\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow5t^2+12t-17=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=-\dfrac{17}{5}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow M\left(4;4\right)\)

toàn đẹp trai lớp 8e

sorry!!! Sai đầu bài. Chỗ 3x chuyển thành 3m

\(\frac{1+\sin^2x}{1-\sin^2x}=\frac{1+1-\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{2}{\cos^2x}-1=2\left(\tan^2x+1\right)-1=2\tan^2x+1\)

`\sqrt{x+3}+\sqrt{6-x}=\sqrt{(x+3)(6-x)}+3(-3<=x<=6)`

`<=>x+3+6-x=(x+3)(6-x)+9+6\sqrt{(x+3)(6-x)}`

`<=>9=9+(x+3)(6-x)+6\sqrt{(x+3)(6-x)}`

`<=>(x+3)(6-x)+6\sqrt{(x+3)(6-x)}=0`

`<=>\sqrt{(x+3)(6-x)}(\sqrt{(x+3)(6-x)}+6)=0`

`<=>\sqrt{(x+3)(6-x)}=0`

`<=>x=-3\or\x=6`

Vậy `S={-3,6}`

Gọi pt đường thẳng có dạng: \(y=ax+b\)

Đường thẳng qua M nên: \(6=-a+b\Rightarrow b=a+6\)

\(\Rightarrow y=ax+a+6\)

Đường thẳng cắt 2 tia Ox, Oy khi \(a\ne\left\{-6;0\right\}\)

Gọi A là giao điểm với Ox \(\Rightarrow A\left(-\dfrac{a+6}{a};0\right)\) \(\Rightarrow OA=\left|x_A\right|=\left|\dfrac{a+6}{a}\right|\)

Gọi B là giao điểm với Oy \(\Rightarrow B\left(0;a+6\right)\Rightarrow OB=\left|y_B\right|=\left|a+6\right|\)

\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}OA.OB=\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{a+6}{a}\right|.\left|a+6\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left|\dfrac{a^2+12a+36}{a}\right|=8\Rightarrow a^2+20a+36=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-2\\a=-18\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-2x+4\\y=-18x-12\end{matrix}\right.\)

a.

Đường thẳng có hệ số góc 3 nên nhận (3;-1) là 1 vtpt

\(\Rightarrow3\left(x-1\right)-1\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow3x-y-5=0\)

b.

Đường thẳng có 1 vtcp là (2;-5) nên nhận (5;2) là 1 vtpt

Phương trình: \(5\left(x+5\right)+2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow5x+2y+21=0\)

c.

Đường thẳng vuông góc \(\Delta\) nên nhận \(\left(4;-3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình: \(4x-3y=0\)

d.

Đường thẳng hợp với 2 trục tọa độ 1 tam giác cân nên có hệ số góc bằng 1 hoặc -1

\(\Rightarrow\) Nhận (1;1) hoặc (1;-1) là vtpt

Có 2 đường thẳng thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}1\left(x-4\right)+1\left(y-5\right)=0\\1\left(x-4\right)-1\left(y-5\right)=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y-9=0\\x-y+1=0\end{matrix}\right.\)

a.Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-2-2t\end{matrix}\right.\)

b. Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow H\left(\dfrac{1}{2};1\right)\)

\(\overrightarrow{BA}=\left(1;-6\right)\Rightarrow\) trung trực AB nhận \(\left(6;1\right)\) là 1 vtcp

Phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}+6t\\y=1+t\end{matrix}\right.\)

c. \(\overrightarrow{BA}=\left(1;-6\right)\) nên AB nhận (1;-6) là 1 vtcp

Phương trình AB: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=-2-6t\end{matrix}\right.\)

d. Gọi M là trung điểm  AC \(\Rightarrow M\left(\dfrac{7}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{MH}=\left(3;-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\left(6;-1\right)\)

Phương trình MH: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{7}{2}+6t\\y=\dfrac{1}{2}-t\end{matrix}\right.\)

a) Ta có: \(f\left(x\right)=x\left(x^2+x-2\right)=x\left(x-1\right)\left(x+2\right)\)

  Lập bảng xét dấu 

Vậy để \(f\left(x\right)>0\) \(\Leftrightarrow x\in\left(-2;0\right)\cup\left(1;+\infty\right)\)

b) Ta có: \(\left(3x^2+7x-6\right)\left(5x+8\right)^2\le0\)

\(\Leftrightarrow3x^2+7x-6\le0\) \(\Leftrightarrow-3\le x\le\dfrac{2}{3}\)

  Vậy \(x\in\left[-3;\dfrac{2}{3}\right]\)