\(sin^2x=\frac{1}{2}\) 

\(\frac{1-cos2x}{2}=\frac{1}{2}\) 

\(1-cos2x=1\) 

\(cos2x=0\)   

\(2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) 

\(x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\)

tìm các nghiệm của x=\(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\)bằng cách giải x

x=\(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\), cho mọi số nguyên n

Có:     \(sin^2\phi=\frac{1}{1+cot^2\phi}=\frac{1}{a^2+1}\),  Từ đây ta được các đẳng thức:

 \(sin2\phi=2sin\phi cos\phi=2cot\phi sin^2\phi=\frac{2a}{a^2+1}\)

\(cos2\phi=1-2sin^2\phi=1-\frac{2}{a^2+1}=\frac{a^2-1}{a^2+1}\)

Xét: \(sin\left(2\phi-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(sin2\phi-cos2\phi\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2a}{a^2+1}-\frac{a^2-1}{a^2+1}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}\left(a+1\right)}{a^2+1}\)

=34a-b

Giả sử \(y\) nằm giữa \(x\) và \(z\)

\(\Rightarrow\left(y-z\right)\left(y-x\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow y^2+zx\le xy+zx\)

\(\Leftrightarrow y^2z+z^2x\le xyz+z^2x\)

\(\Leftrightarrow x^2y+y^2z+z^2x\le x^2y+xyz+z^2x=y.\left(x^2+zx+z^2\right)\)

Nên : \(P\le y.\left(x^2+zx+z^2\right)\le y.\left(x+z\right)^2\)

\(=\frac{1}{2}.2y.\left(x+z\right).\left(x+z\right)\le\frac{1}{2}.\left[\frac{2y+x+z+x+z}{3}\right]^3\) \(=\frac{1}{2}\cdot\frac{8}{27}=\frac{4}{27}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=0,y=\frac{1}{3},z=\frac{2}{3}\)  và các hoán vị.