Ta có :  \(\Sigma\dfrac{1}{a^2+b^2+1}=3-\Sigma\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}\)

AD BĐT C-S ta được : 

\(\Sigma\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}\ge\dfrac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)  \(=\dfrac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\Sigma\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)

\(\ge\dfrac{4\left(a^2+b^2+c^2\right)+2\left(ab+bc+ac\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)  

\(=2+\dfrac{2\left(ab+bc+ac\right)-6}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+3}\)   \(\ge2\) ( điều này luôn đúng với ab + bc + ac \(\ge3\) )  

Suy ra :  ​​\(\Sigma\dfrac{1}{a^2+b^2+1}\)  \(\le3-2=1\)

" = " <=> a = b = c = 1

Vậy ... 

Biến thể của bài toán : Cho a ; b ; c > 0 \(a+b+c=\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\) 

Chứng minh : \(\frac{1}{a^2+b^2+3}+\frac{1}{b^2+c^2+3}+\frac{1}{c^2+a^2+3}\le\frac{1}{2}\)

Vì y = y => tam giác trên vuông cân

Trong tam giác  cân , đường cao là đường trung tuyến , đường trung trực , đường phân giác

Trong tam giác vuông cân , đường trung tuyến = 1/2 cạnh huyền

=> đường trung tuyến = x =5

Theo định lý pitago tong tam giác vuông => 5² + x² = y²

                                                                     25 + 5² = y²

                                                                      25 + 25 = y²

                                                                         50 = y² => y = \(\sqrt{50}\)

Vậy x = 5 , y = \(\sqrt{50}\)

Ta có: \(\frac{1}{5^2}=\frac{1}{y^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{2}{y^2}\Rightarrow y=5\sqrt{2}\)

\(x^2+5^2=y^2=\left(5\sqrt{2}\right)^2=2.5^2\Rightarrow x=5\). 

Ta có: \(a^2+4b=b^2+4a\) <=> \(a^2-b^2-4a+4b=0\)

<=> \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)-4\left(a-b\right)=0\)

<=> \(\left(a-b\right)\left(a+b-4\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=b\left(loại\right)\\a+b=4\end{cases}}\)(vì a,b phân biệt)

a ) => S = a + b = 4

b) Ta có: \(a^2+4b=7\) <=> \(a\left(a+b\right)-ab+4b=7\)

<=> \(4a-ab+4b=7\) <=> \(4\left(a+b\right)-7=ab\) <=> \(ab=4.4-7=9\)

Do đó: Q = a³ + b³ = (a + b)(a²  -  ab + b²) = (a + b)³ - 3ab(a + b) = 4³ - 3.9.4 = -44

Ta có: \(a\left(b-c\right)^3+b\left(c-a\right)^3=a\left(b^3-3b^2c+3bc^2-c^3\right)+b\left(c^3-3c^2a+3ca^2-a^3\right)\)

\(=ab^3-3ab^2c+3abc^2-ac^3+bc^3-3abc^2+3a^2bc-a^3b\)

\(=a^2b^2-a^3b+ab^3-a^2b^2-3ab^2c+3a^2bc+bc^3-ac^3\)

\(=\left(a-b\right)\left(a^2b+ab^2-3abc+c^3\right)\)

\(a\left(b-c\right)^3+b\left(c-a\right)^3=c\left(a-b\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2b+ab^2-3abc+c^3-c\left(a-b\right)^2\right)=0\)

Suy ra \(a=b\)

Ta có đpcm.