Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Đặt \(\hept{\begin{cases}a=\sqrt{x}\\b=\sqrt{y}\\c=\sqrt{z}\end{cases}}\)hpt <=>\(\hept{\begin{cases}a^2-b=1\\b^2-c=1\\c^2-a=1\end{cases}}\)
Ta có :
a2 - b = 1 <=> b = a2 - 1 <=> b2 = ( a2 - 1 )2 (1)
c2 - a = 1 <=> c = \(\sqrt{a+1}\)(2)
(1) - (2) <=> b2 - c = ( a2 - 1 )2 - \(\sqrt{a+1}\)
<=> ( a2 - 1 )2 - \(\sqrt{a+1}\) = 1
<=> a4 - 2a2 = \(\sqrt{a+1}\)
Bình phương 2 vế ta được
a8 - 4a6 + 4a4 = a + 1
<=> a8 - 4a6 + 4a4 - a - 1 = 0
<=> ( a2 - a - 1 )( a6 + a5 - 2a4 - a3 + a2 + 1 ) = 0
TH1 : a2 - a - 1 = 0
<=> ( a - 1/2 )2 = 5/4
<=> \(a-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}\)<=> \(a=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)
TH2 : bạn tự tính nhe ')
Tương tự ta tính được a = b = c = \(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)
Suy ra x = y = z =\(\left(\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right)^2=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)
\(a=\sqrt{x}\ge0\)nên a chỉ bằng \(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)thôi
còn \(\frac{1-\sqrt{5}}{2}< 0\)nên ta loại trường hợp này
\(a)\)√x2−9+√x2−6x+9=0x2−9+x2−6x+9=0
⇒√(x−3)(x+3)+√(x−3)2=0⇒(x−3)(x+3)+(x−3)2=0
⇒√(x−3)(x+3)+x−3=0⇒(x−3)(x+3)+x−3=0
Đặt x−3=tx−3=t pt thành
√t(t−6)−t=0t(t−6)−t=0
⇔t2−6t=t2⇔t2−6t=t2
⇔t=0⇔t=0⇒x−3=0⇔x=3
\(b)\)√x2−4−x2+4=0x2−4−x2+4=0
⇔√x2−4=x2−4⇔x2−4=x2−4
Đặt √x2−4=tx2−4=t pt thành
t=t2⇒t(1−t)=0t=t2⇒t(1−t)=0
⇒[t=1t=0⇒[t=1t=0.
Với t=0⇒√x2−4=0⇒x=±2t=0⇒x2−4=0⇒x=±2
Với t=1⇒√x2−4=1t=1⇒x2−4=1⇒x=±√5
\(A.\) Điều kiện : x > 0
P=x2+√xx−√x+1−2x+√x√x+1=√x(√x+1)(x−√x+1)x−√x+1−√x(2√x+1)√x+1P=x2+xx−x+1−2x+xx+1=x(x+1)(x−x+1)x−x+1−x(2x+1)x+1
=x+√x−2√x−1+1=x−√x=x+x−2x−1+1=x−x
\(B.\) Đặt y=√x,y≥0y=x,y≥0
⇒P=y2−y=(y−12)2−14≥−14⇒P=y2−y=(y−12)2−14≥−14
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi y=12⇒x=14y=12⇒x=14
Vậy Min P = −14−14 tại x=14
a) √3x2−18x+28+√4x2−24x+45=−x2+6x−53x2−18x+28+4x2−24x+45=−x2+6x−5 (ĐKXĐ : 1≤x≤51≤x≤5 )\
Ta có : √3x2−18x+28+√4x2−24x+45=√3(x2−6x+9)+1+√4(x2−6x+9)+9=√3(x−3)2+1+√4(x−3)2+93x2−18x+28+4x2−24x+45=3(x2−6x+9)+1+4(x2−6x+9)+9=3(x−3)2+1+4(x−3)2+9
⇒√3x2−18x+28+√4x2−24x+45≥1+3=4⇒3x2−18x+28+4x2−24x+45≥1+3=4
Lại có : −x2+6x−5=−(x2−6x+9)+4=−(x−3)2+4≤4−x2+6x−5=−(x2−6x+9)+4=−(x−3)2+4≤4
Do đó, phương trình tương đương với : ⎧⎨⎩1≤x≤5√3x2−18x+28+√4x2−24x+45=4−x2+6x−5=4{1≤x≤53x2−18x+28+4x2−24x+45=4−x2+6x−5=4⇒x=3(TM)⇒x=3(TM)
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3
b) √x2−4x+5+√x2−4x+8+√x2−4x+9=3+√5x2−4x+5+x2−4x+8+x2−4x+9=3+5
⇔√(x−2)2+1+√(x−2)2+4+√(x−2)2+5=3+√5⇔(x−2)2+1+(x−2)2+4+(x−2)2+5=3+5
Mặt khác, ta có : ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩√(x−2)2+1≥1√(x−2)2+4≥2√(x−2)2+5≥√5{(x−2)2+1≥1(x−2)2+4≥2(x−2)2+5≥5⇒√x2−4x+5+√x2−4x+8+√x2−4x+9≥3+√5⇒x2−4x+5+x2−4x+8+x2−4x+9≥3+5
Dấu đẳng thức xảy ra <=> x = 2.
Vậy nghiệm của phương trình : x = 2
\(A.\) \(\sqrt{x}>2\Leftrightarrow\sqrt{x^2}>2^2\Leftrightarrow x>4\)
\(B.\) \(\sqrt{x}< 1\Leftrightarrow\sqrt{x^2}< 1^2\Leftrightarrow x< 1\)
Điều kiện đề A xác định là: \(x+1\ge0\)\(\Leftrightarrow x\ge-1\)
Căn bậc 3 không cần xét điều kiện
Điều kiện
\(x+1\ge0\)
\(x\ge-1\)
Với \(a,b,c>0\)ta có: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sqrt{\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}}=\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\)
Vì \(a,b,c>0\)\(\Rightarrow\)Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
\(\sqrt{a\left(b+c\right)}\le\frac{a+\left(b+c\right)}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2}{a+b+c}\)\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\); \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)
Vì dấu " = " không đồng thời xảy ra ở 3 BĐT
\(\Rightarrow\)Cộng các vế tương ứng của 3 BĐT lại với nhau ta được:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)
\(=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)( đpcm )
\(ĐK:x\ge1,y\ge4\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta được: \(M=\frac{y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-4}}{xy}=\frac{y\sqrt{\left(x-1\right).1}+\frac{1}{2}x.\sqrt{4\left(y-4\right)}}{xy}\)\(\le\frac{y.\frac{\left(x-1\right)+1}{2}+\frac{1}{2}x.\frac{\left(y-4\right)+4}{2}}{xy}=\frac{\frac{1}{2}xy+\frac{1}{4}xy}{xy}=\frac{3}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = 2; y = 8
