Ta có :a² +b²+c²  =5  (a+b+c)-2ab <=> (a+b)²+c²=5(a+b+c)

Áp dụng bđt bunhiacopxki có:

(a+b)² +c² > 1/2 (a+b+c)²

=> 1/2 (a+b+c)² < 5(a+b+c) => 0< a+b+c <10

Áp dụng bđt Cauchy ta có:

\(\sqrt{\frac{3}{\sqrt{a+10}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{a+10}{3}}}\):\(\sqrt{\frac{a+10}{3}}\)

=\(\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a+10}{3}\cdot}4\)<  1/4 (\(\frac{a+10}{3}+4\))

= a+22/12 => \(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{a+10}}\)>  \(\frac{12}{â+22}\)

\(\sqrt[3]{b+c}=\frac{1}{4}\sqrt[3]{\left(b+c\right)8.8}\)< \(\frac{1}{4}\cdot\frac{b+c+8+8}{3}\)

=\(\frac{b+c+16}{12}\)=> \(\frac{1}{\sqrt[3]{b+c}}\)> \(\frac{12}{b+c+16}\)

=> P > a= b+c+48 . 12 (\(\frac{1}{a+22}+\frac{1}{b+c+16}\))

Áp dụng bđt Cauchy - Schwarz ta được :

\(\frac{1}{a+22}+\frac{1}{b+c+16}\)> \(\frac{4}{a+b+c}+38\)=> P>  a+b+c+\(\frac{2304}{a+b+c+38}\)

Đặt t= a+b+c => t\(\in\)(0;10) => P> t+\(\frac{2304}{t+38}\)

Xét hàm f(t) = t+\(\frac{2304}{t+38}\)trên ( 0;10)

Ta có : f(t) =1-\(\frac{2304}{\left(t+38\right)^2}=\frac{\left(t-10\right)\left(t+86\right)}{\left(t+38\right)^2}\)

=> f(t)< 0 \(\forall\)t \(\in\)( 0:10)

=> f(t) nghịch biến trên (0;10) => f(t) >  f(10) \(\forall\)t \(\in\)(0;10); f(10) =58 => P>58

Daaus "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a+b+c=10\\a+b=c\\\frac{a+10}{3}\end{cases}}\)hoặc b+c=8 \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\\c=5\end{cases}}\)

Vậy min P =58 khi a=2 , b=3 , c=5 

HỌC TỐT 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow\frac{y+x}{xy}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow xz+yz=xy\Leftrightarrow2xz+2yz-2xy=0\)

Tac có : \(\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2xy}\)

\(=\sqrt{\left(x+y-z\right)^2}=\left|x+y-z\right|\)

\(\Rightarrow\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)là số hữu tỉ ( đpcm )

\(A-1=\frac{-x^2}{x^2+x+1}\le0\)

nên giá trị lớn nhất của A là 1. Xảy ra khi: x=0

giá trị nhỏ nhất k bt xđ đc ko

A = \(\frac{x+1}{x^2+x+1}=\frac{x^2+x+1-x^2}{x^2+x+1}=1-\frac{x^2}{x^2+x+1}=1-\frac{x^2}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\le1\)

(Vì: \(\frac{x^2}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge0\))

Dấu "=" xảy ra <=> x = 0

Vậy MaxA = 1 khi x = 0