Bạn tự vẽ hình nhé. 

Lấy \(D\)thuộc \(AM\)sao cho \(MD=MB\)khi đó \(\Delta BMD\)là tam giác đều (tam giác cân có 1 góc bằng \(60^o\)là tam giác đều) 

Ta có: \(\widehat{BAD}=\widehat{BCM}\)(1) (góc nội tiếp cùng chắn cung \(BM\)) 

\(\widehat{BDA}=180^o-\widehat{BDM}=180^o-60^o=120^o\)

\(\widehat{BMC}=180^o-\widehat{BAC}=180^o-60^o=120^o\)

Suy ra \(\widehat{BDA}=\widehat{BMC}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABD}=\widehat{CBM}\).

Xét \(\Delta BDA\)và \(\Delta BMC\)có: 

\(BA=BC\)(do \(ABC\)là tam giác đều) 

​\(\widehat{ABD}=\widehat{CBM}\)(cmt)​

\(BM=BD\)(do \(\Delta BDM\)đều)

\(\Rightarrow\Delta BDA=\Delta BMC\)(c - g - c) 

Suy ra \(DA=MC\)(hai cạnh tương ứng) 

Vậy  \(MA=MD+DA=MC+MB\)(đpcm).

Cho 2 đường tròn O và O(1) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO(1) cắt đường tròn taamO và đường tròn tâm O(1) tại các điểm A B C D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF ( E thuộc dt tâm O, F thuộc dt tâm O(1). Gọi M là giao điểm của AE và DM, N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng:

 - Tứ giác MENF là hình chữ nhật

 - MN vuông góc với AD

 - ME.MA=MF.MD 

O B I N P A' C M E A D

a) Kẻ \(AH\perp BC,I\in BC\)cố định . Ta có \(\widehat{BMA}=\widehat{BIA}=90^o\)nên tứ giác AMBI nội tiếp hay \(\widehat{AIM}=\widehat{ABM}\)

Ta lại có tứ giác AMPC nội tiếp nên \(\widehat{ABM}=\widehat{ACP}\)

Do đó \(\widehat{AIM}=\widehat{ACP}\)(1)

Mặt khác : \(\widehat{AIC}=\widehat{ANC}=90^o\)nên tứ giác AINC nội tiếp , suy ra :

\(\widehat{ACP}+\widehat{AIN}=180^o\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\widehat{AIM}+\widehat{AIN}=180^o\)

Vậy đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I

b)

Tứ giác BCDE nội tiếp , suy ra : \(\widehat{AED}=\widehat{ACD}\)

Kéo dài AO cắt (O;R) tại điểm A' , ta có :

\(\widehat{EAO}+\widehat{AED}=\widehat{BAA'}+\widehat{ACB}=90^o\)

\(\Rightarrow AO\perp DE\Rightarrow S_{AEOD}=\frac{1}{2}AO.DE=\frac{1}{2}R.DE\)

Tương tư ta lại có : \(S_{BEOI}=\frac{1}{2}R.EI;S_{CDOI}=\frac{1}{2}R.ID\)

Vậy : \(S_{ABC}=S_{AEOD}+S_{BIOE}+S_{CDOI}=\frac{1}{2}R.\left(DE+EI+ID\right)\)

\(\Rightarrow DE+EI+ID=\frac{2.S_{ABC}}{R}=\frac{2a^2}{R}\)( không đổi )

AB=40.AC=48 mà AB=AC (vô lí) =>ko tìm đc

\(P=\left(x^2+5x+4\right)\left(x^2+5x+6\right)=\left(x^2+5x+5\right)^2-1\)

ta tìm min; max của (x^2+5x+5)^2

\(\text{Thấy ngay: }max_{x^2+5x+5}=4^2+5.4+5=41\)

nên max P sẽ là: 40.42

\(x^2+5x+5\text{ ta tìm min của: }x^2+5x\text{ với: }-1\le x\le4\)

x=-1 thì  bằng -4; nên ta bỏ TH x>=0

bây h chỉ xét -1=< x <0

giả sử tồn tại a sao cho: a^2+5a<-4 khi đó: (a+1)(a+5)<0 vô lí 

nên min sẽ là: 0