\(A=\sqrt{3+\sqrt{5}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}\Rightarrow A^2=3+\sqrt{5}+3-\sqrt{5}+2\sqrt{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}\)

\(=6+2\sqrt{9-5}=6+2\sqrt{4}=10\)

nên A là căn 10

\(P=\frac{x^2-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}\left(x\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}+x+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}-1}\)

\(P=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}-2\sqrt{x}-1+2\sqrt{x}+2\)

\(=x-\sqrt{x}+1=\left(x-\sqrt{x}+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\text{ dấu bằng: }x=\frac{1}{4}\)

\(\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}\text{ nguyên nên x chính phương}\Rightarrow2\sqrt{x}\ge x-\sqrt{x}+1\)

nên 3 căn x >=x+1 đến đây x chính phương nên ez. x=1

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2=1\\x^3-y^3=2xy+3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-y=1\\x^3-y^3=2xy+3\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}x-y=-1\\x^3-y^3=2xy+3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1\\\left(y+1\right)^3-y^3\end{cases}=2\left(y+1\right)y+3}\)hay \(\hept{\begin{cases}x=y-1\\\left(y-1\right)^3-y^3=2\left(y-1\right)y+3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1\\y^3+3y^2+3y+1-y^3=2y^2+2y+3\end{cases}}\)

hay \(\hept{\begin{cases}x=y-1\\y^3-3y^2+3y-1-y^3=2y^2-2y+3\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1\\y^2+y-2=0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}x=y-1\\y^2-y+\frac{4}{5}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+1\\\left(y-1\right)\left(y+2\right)=0\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}x=y-1\\\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{11}{20}=0\left(VN\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)hay \(\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}}\)

a) Đồ thị \(y=\frac{-1}{2}x+\frac{3}{2}\)có \(\hept{\begin{cases}x=0\Rightarrow y=\frac{3}{2}\\y=0\Rightarrow x=3\end{cases}}\)

Đồ thị y=|x| = \(\hept{\begin{cases}xkhix\ge0\\-xkhix\le0\end{cases}}\)

hình:.....

b) Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại 2 điểm có toạ độ M(1;1) và N(-3;3)

Ta có:\(OM=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\Rightarrow OM^2=2\)

\(ON=\sqrt{3^2+\left(-3\right)^2}=3\sqrt{2}\Rightarrow ON^2=18\)

\(MN=\sqrt{\left(1-3\right)^2+\left(1-3\right)^2}=\sqrt{20}\Rightarrow MN^2=20\)

Vì \(OM^2+ON^2=MN^2\)

Vậy tam giác OMN vuông tại O (đpcm)

a,rút gọn đc \(\frac{1}{\sqrt{xy}}\)

b, cho\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}=6\)tìm giá trị lớn nhất của A

b) theo bđt Cô-si ta có:

\(6=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{xy}}}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}\le9\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{y}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{9}\)

Vậy maxA = 9 khi x=y=1/9

C1 : 

\(A=x+y=1.\left(x+y\right)=\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{x}\right)\left(x+y\right)=a+\frac{ay}{x}+\frac{bx}{y}+b\)

Theo bđt Cauchy với 2 số dương , ta có : \(\frac{ay}{x}+\frac{bx}{y}\ge2\sqrt{\frac{ay}{x}.\frac{bx}{y}}=2\sqrt{ab}\)

Do đó : \(A\ge a+b+2\sqrt{ab}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(minA=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)với \(\hept{\begin{cases}\frac{ay}{x}=\frac{bx}{y}\\\frac{a}{x}+\frac{b}{y}=1\\x,y>0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=a+\sqrt{ab}\\y=b+\sqrt{ab}\end{cases}}\)

C2 :

Dùng bđt Bunhiacôpxki , ta có 

\(A=\left(x+y\right).1=\left(x+y\right)\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}\right)\ge\left(\sqrt{x.\frac{a}{x}}+\sqrt{y.\frac{b}{y}}\right)^2=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

Từ đó ta tìm được GTNN của A