ta có \(y^2+2xy=3x+2\Leftrightarrow y^2+2xy+x^2=x^2+3x+2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)

do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là số chính phương

mà vế phải là tích của hai số nguyên liên tiếp

suy ra vế phải phải bằng 0 hay \(\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-1\Rightarrow y=1\\x=-2\Rightarrow y=2\end{cases}}}\)

ĐK : x\(\ge\)- 5

\(x^2-7x=6\sqrt{x+5}-30\)

<=> \(x^2-7x+30-6\sqrt{x+5}=0\)

<=> \(\left(x^2-8x+16\right)+\left(x+5-6\sqrt{x+5}+9\right)=0\)

<=> \(\left(x-4\right)^2+\left(\sqrt{x+5}-3\right)^2=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-4=0\\\sqrt{x+5}-3=0\end{cases}}\)<=> x = 4

a) Để (d) // \(y=\sqrt{3}x\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}-\frac{2k}{k-1}=\sqrt{3}\\\frac{2}{k-1}\ne0\left(HN\right);-\frac{2k}{k-1}\ne0\Rightarrow k\ne0\end{cases}}\Rightarrow-\frac{2k}{k-1}=\sqrt{3}\Rightarrow2k=\sqrt{3}\left(1-k\right)=\sqrt{3}-\sqrt{3}k\)

\(\Rightarrow2k+\sqrt{3}k=\sqrt{3}=k\left(2+\sqrt{3}\right)\Rightarrow k=\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}=2\sqrt{3}-3\)( TM )

Vậy \(k=2\sqrt{3}-3\)

Hàm số của (d) là : \(y=\sqrt{3}x-2-\sqrt{3}\)

Xét (d) có :

Cho \(x=0\Rightarrow y=-2-\sqrt{3}\)

\(y=0\Rightarrow x=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow\)(d) đi qua \(\left(0;-2-\sqrt{3}\right)\)và \(\left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3};0\right)\)

Gọi (d) cắt Ox tại A\(\left(\frac{3+2\sqrt{3}}{3};0\right)\)và cắt Oy tại B\(\left(0;-2-\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow OA=\frac{3+2\sqrt{3}}{3};OB=|-2-\sqrt{3}|=2+\sqrt{3}\)

Vì \(a=\sqrt{3}>0\)\(\Rightarrow\)Xét \(\Delta AOB\)vuông tại O có : \(tan\alpha=\frac{OB}{OA}=\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{3+2\sqrt{3}}{3}}=\sqrt{3}\Rightarrow\alpha=60^o\)

Vậy góc tạo bởi (d) và trục Ox là : \(60^o\)

b) Xét (d) :

Cho \(x=0\Rightarrow y=\frac{2}{k-1}\)

       \(y=0\Rightarrow x=\frac{1}{k}\)

\(\Rightarrow\)(d) đi qua \(A\left(0;\frac{2}{k-1}\right)\)và \(B\left(\frac{1}{k};0\right)\)

Kẻ OH \(\perp\)AB ( \(H\in AB\))

Áp dụng htl trong \(\Delta ABO\) OH \(\perp\)AB ( \(H\in AB\)) có :

\(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=k^2+|\frac{k-1}{2}|^2=k^2+\frac{|k-1|^2}{4}=\frac{4k^2+|k-1|^2}{4}=\frac{4k^2+\left(k-1\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow OH=\sqrt{\frac{4}{4k^2+\left(k-1\right)^2}}=\frac{2}{\sqrt{4k^2+\left(k-1\right)^2}}\)

Đến đây thì mình tèo rồi, không biết phía trên làm sai chỗ nào nữa :'

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \(\sqrt{\frac{b+c}{a}}=\sqrt{\left(\frac{b+c}{a}\right).1}\le\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}=\frac{a+b+c}{2a}\)\(\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự:\(\sqrt{\frac{b}{c+a}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\); \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(b+c=a,c+a=b,a+b=c\Rightarrow a+b+c=0\)

Nhưng do a, b, c > 0 (gt) nên a + b + c > 0

Vậy đẳng thức không xảy ra