cho 2 số thực x,y thỏa mãn (x+\(\sqrt{x^2+2019}\))\(\left(y+\sqrt{y^2+2019}\right)\)=2019. tính giá trị biểu thức P=x4+x3y+3x2+xy-2y2+1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
KN
22 tháng 12 2020
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=3\Rightarrow x+y+1=3xy\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được: \(2\sqrt{3x^2+1}=\sqrt{4\left(3x^2+1\right)}=\sqrt{\left(3+1\right)\left(3x^2+1\right)}\ge3x+1\)
\(\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{3x^2+1}}\le\frac{4}{3x+1}\)
Tương tự: \(\frac{2}{\sqrt{3y^2+1}}\le\frac{4}{3y+1}\)
Do đó \(A\le\frac{4}{3x+1}+\frac{4}{3y+1}=\frac{12\left(x+y\right)+8}{9xy+3x+3y+1}=\frac{12\left(x+y\right)+8}{\left(3+3x+3y\right)+3x+3y+1}=2\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1
DT
0
KN
22 tháng 12 2020
\(A=\sqrt{2\left(\sqrt{x^2+y^2}+x\right)\left(\sqrt{x^2+y^2}+y\right)}-\sqrt{x^2+y^2}-x-y+2020\)\(=\sqrt{2\left(x^2+y^2+\left(x+y\right)\sqrt{x^2+y^2}+xy\right)}-\sqrt{x^2+y^2}-x-y+2020\)\(=\sqrt{\left(x^2+y^2+2xy\right)+2\left(x+y\right)\sqrt{x^2+y^2}+x^2+y^2}-\sqrt{x^2+y^2}-x-y+2020\)\(=\sqrt{\left(x+y\right)^2+2\left(x+y\right)\sqrt{x^2+y^2}+\left(x^2+y^2\right)}-\sqrt{x^2+y^2}-x-y+2020\)\(=\sqrt{\left(x+y+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2}-\sqrt{x^2+y^2}-x-y+2020\)\(=x+y+\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{x^2+y^2}-x-y+2020=2020\)
11 tháng 4 2021
\(A=\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}{\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}\).
Ta có:
\(1-a=a+b+c-a\).(vì \(a+b+c=1\)).
\(\Leftrightarrow1-a=b+c\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(1-b=c+a\); \(1-c=a+b\). Do đó:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)=\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)\).
Lại có:
\(1+a=a+b+c+a\)(vì \(a+b+c=1\)).
\(\Leftrightarrow1+a=\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(1+b=\left(a+b\right)+\left(b+c\right)\); \(1+c=\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\),.
Do đó \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)=\left[\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\right]\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)\right]\left[\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\right]\)
Lúc đó:
\(A=\frac{\left[\left(a+b\right)+\left(a+c\right)\right]\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)\right]\left[\left(a+c\right)+\left(b+c\right)\right]}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\).
Đặt \(a+b=x,b+c=y,c+a=z\left(x,y,z>0\right)\) thì \(x+y+z=2\left(a+b+c\right)=2\). Lúc đó:
\(A=\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(z+y\right)}{yzx}\).
Vì \(x,y>0\)nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương, ta được:
\(x+z\ge2\sqrt{xz}\left(1\right)\).
Chứng minh tương tự, ta được:
\(x+y\ge2\sqrt{xy}\left(2\right)\);
\(z+y\ge2\sqrt{zy}\left(3\right)\).
Từ (1), (2), (3), ta được:
\(\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(z+y\right)\ge8\sqrt{xy.yz.zx}=8xyz\).
\(\Rightarrow\frac{\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(z+y\right)}{yzx}\ge\frac{8xyz}{xyz}=8\).
\(\Rightarrow A\ge8\).
Dấu bằng xảy ra.
\(\Leftrightarrow x=y=z>0\Leftrightarrow a+b=b+c=c+a>0\Leftrightarrow a=b=c>0\).
Mà \(a+b+c=1\)nên \(a=b=c=\frac{1}{3}\).
Vậy \(minA=8\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\).
KT
0