+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được: \(A=\sqrt{7-x}+\sqrt{2+x}\le\sqrt{2\left(7-x+2+x\right)}=3\sqrt{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(7-x=2+x\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\)

+) \(A=\sqrt{7-x}+\sqrt{2+x}\Rightarrow A^2=9+2\sqrt{\left(7-x\right)\left(2+x\right)}\ge9\Rightarrow A\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(7-x\right)\left(2+x\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=7\\x=-2\end{cases}}\)

Vậy \(MinA=3\Leftrightarrow x\in\left\{7;-2\right\};MaxA=3\sqrt{2}\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\)

x³ - 3x² + 2x + 6 = 0

⇔ x³ + x² - 4x² - 4x + 6x + 6 = 0

⇔ x²( x + 1 ) - 4x( x + 1 ) + 6( x + 1 ) = 0

⇔ ( x + 1 )( x² - 4x + 6 ) = 0

⇔ \(\orbr{\begin{cases}x+1=0\\x^2-4x+6=0\end{cases}}\)

+) x + 1 = 0 => x = -1

+) x² - 4x + 6 = 0

Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4.1.6 = 16 - 24 = -8 < 0 => vô nghiệm

Vậy phương trình có 1 nghiệm x₁ = -1

Câu 5.2 có ở đề thi cuối kì trường mình á :3 ( lớp 8 )

Xét hiệu a³ + b³ + c³ - ( a + b + c ) ta có :

 a³ + b³ + c³ - ( a + b + c ) 

= a³ + b³ + c³ - a - b - c 

= ( a³ - a ) + ( b³ - b ) + ( c³ - c )

= a( a² - 1 ) + b( b² - 1 ) + c( c² - 1 )

= a( a - 1 )( a + 1 ) + b( b - 1 )( b + 1 ) + c( c - 1 )( c + 1 )

Dễ dàng chứng minh a( a - 1 )( a + 1 ) ⋮ 6 ( bạn lớp 9 mà :)) )

Tương tự với b( b - 1 )( b + 1 ) và c( c - 1 )( c + 1 )

=>  a³ + b³ + c³ - ( a + b + c ) ⋮ 6

mà a + b + c ⋮ 6

=> a³ + b³ + c³ ⋮ 6 ( đpcm )

ngồi nghĩ từ sáng đến giờ mới ra bài bất =)))))))))))

\(Q=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy+2016\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4}{2xy}+4xy+2016\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{3}{2xy}+4xy+2016\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{6}{4xy}+4xy+2016\)

\(=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{5}{4xy}+\frac{1}{4xy}+4xy+2016\)

Áp dụng bđt Buyakovsky dạng phân thức : \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}=4\)(1)

Áp dụng bđt AM-GM : \(\frac{1}{4xy}+4xy\ge2\sqrt{\frac{1}{4xy}\cdot4xy}=2\)(2)

Ta có : \(x+y\ge2\sqrt{xy}\)=> \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)<=> \(1\ge4xy\)=> \(\frac{1}{4xy}\ge1\)=> \(\frac{5}{4xy}\ge5\)(3)

Từ (1), (2) và (3) => Q ≥ 4 + 2 + 5 + 2016= 2027

=> MinQ = 2027 ; Đẳng thức xảy ra <=> x = y = 1/2

bài 1 ta có 

\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(2020a+2021b\right)\ge\left(\sqrt{2020}+\sqrt{2021}\right)^2\)  ( BDT Bunhia )

do đó

\(a+b=ab.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(2020a+2021b\right)\ge\left(\sqrt{2020}+\sqrt{2021}\right)^2\)

vậy ta có đpcm.

bài 2.

ta có \(VT=\sqrt{x-3}+\sqrt{5-x}\le2\)( BDT Bunhia )

\(VP=y^2+2.\sqrt{2019}y+2021=\left(y+\sqrt{2019}\right)^2+2\ge2\)

suy ra PT có nghiệm \(\hept{\begin{cases}x-3=5-x\\y+\sqrt{2019}=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\y=-\sqrt{2019}\end{cases}}}\)

ta có điều kiện \(2x+3\ge0\Leftrightarrow x\ge-\frac{3}{2}\)

ta có \(PT\Leftrightarrow x^2-6x+9=\left(2x+3\right)-6\sqrt{2x+3}+9\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2=\left(\sqrt{2x+3}-3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{2x+3}\\6-x=\sqrt{2x+3}\end{cases}}\)

TH1. \(x=\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\x^2=2x+3\end{cases}\Leftrightarrow x=3}\)

TH2. \(6-x=\sqrt{2x+3}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le6\\x^2-12x+36=2x+3\end{cases}\Leftrightarrow x=3}\)

vậy PT có nghiệm duy nhất x=3

cashc làm là ta rút m ở cả hai phương trình 

từ \(mx+y=1\Rightarrow m=\frac{1-y}{x}\)với x khác 0

từ \(x+my=2\Rightarrow m=\frac{2-x}{y}\) với y khác 0

từ hai điều trên ta có \(\frac{1-y}{x}=\frac{2-x}{y}\Leftrightarrow y-y^2=2x-x^2\) vậy ta có hệ thức cần tìm