ĐKXĐ : x;y \(\ne\)0

Ta có:\(\frac{4}{x}-\frac{3}{y}=1\)

=> \(\frac{4y-3x}{xy}=1\)

=> 4y - 3x = xy 

=> 20y - 15x = 5xy 

Lại có 6x + 6y = 5xy

=> 20y - 15x = 6x + 6y

=> 14y = 21x

=> 2y = 3x

=> y = 1,5x

Khi đó 6x + 6y = 5xy

<=> 9x + 6x = 7,5x²

=> 15x = 7,5x²

=> 7,5x² - 15x = 0

=> x(7,5x - 15) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\7,5x-15=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\left(\text{loại }\right)\\x=2\end{cases}}\)=> x = 2

Khi x = 2 => y = 3

Vậy x = 2 ; y = 3

\(ĐK:x,y\ge7\)

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+9}+\sqrt{y-7}=4\left(1\right)\\\sqrt{y+9}+\sqrt{x-7}=4\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) - (2), ta được: \(\left(\sqrt{x+9}-\sqrt{y+9}\right)-\left(\sqrt{x-7}-\sqrt{y-7}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\frac{x-y}{\sqrt{x+9}+\sqrt{y+9}}-\frac{x-y}{\sqrt{x-7}+\sqrt{y-7}}=0\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\frac{1}{\sqrt{x+9}+\sqrt{y+9}}-\frac{1}{\sqrt{x-7}+\sqrt{y-7}}\right)=0\)

* Th1: \(x-y=0\Leftrightarrow x=y\)thì (1) trở thành \(\sqrt{x+9}+\sqrt{x-7}=4\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+9}-4\right)+\sqrt{x-7}=0\)\(\Leftrightarrow\frac{x-7}{\sqrt{x+9}+4}+\sqrt{x-7}=0\Leftrightarrow\sqrt{x-7}\left(\frac{\sqrt{x-7}}{\sqrt{x+9}+4}+1\right)=0\)

Dễ thấy \(\frac{\sqrt{x-7}}{\sqrt{x+9}+4}+1>0\forall x\ge7\)nên \(\sqrt{x-7}=0\Leftrightarrow x=7\Rightarrow y=7\)

* Th2: \(\frac{1}{\sqrt{x+9}+\sqrt{y+9}}-\frac{1}{\sqrt{x-7}+\sqrt{y-7}}=0\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x+9}+\sqrt{y+9}=\sqrt{x-7}+\sqrt{y-7}\)(*)

Mà từ hệ suy ra \(\sqrt{x+9}+\sqrt{y-7}=\sqrt{y+9}+\sqrt{x-7}\)(**)

Lấy (*) - (**), ta được: \(\sqrt{y+9}=\sqrt{y-7}\)(vô lí)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất là \(\left(x,y\right)=\left(7,7\right)\)

Thay xuống phương trình 2 ta được : 

\(y=x^2-x=y^4-2y^3+y^2-y^2+y\)

\(=y^4-2y^3+y=y\left(y^3-2y^2+1\right)\)

hay \(y\left(y^3-2y^2+1\right)=y\Leftrightarrow y^3-2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow y^2\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow y=0;y=2\)

TH1 : Xét y = 0 vào phương trình 1 ta được : 

\(x=0-0=0\)

TH2 : xét y = 2 vào phương trình 1 ta được : 

\(x=2^2-2=4-2=2\)

Vậy \(\left\{x;y\right\}=\left\{0;2\right\};\left\{0;2\right\}\)

Bài làm

\(\orbr{\begin{cases}x=y^2-y\\y=x^2-x\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y^2-y-x=0\\x^2-x-y=0\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}y^2-x-y=0\\x^2-x-y=0\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y^2-x^2=0\\y=x^2-x\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\left(y-x\right)\left(y+x\right)=0\\y=x^2-x\end{cases}}}\)

<=> y - x = 0 hoặc y + x = 0 và y = x^2 - x

<=> y = x hoặc y = -x và x = x^2 - x hoặc -x = x^2 - x

<=> y = x hoặc y = -x và x^2 - 2x = 0 hoặc x^2 = 0

<=> y = x hoặc y = -x và x(x - 2) = 0 hoặc x = 0

<=> y = x hoặc y = -x và x = 0 hoặc x = 2

Vậy y = 0 và x = 0 hoặc y = 2 và x = 2 hoặc y = -2 và x = -2

áp dụng BĐT cosi cho 4 số \(\frac{x}{2}\)\(\frac{x}{2}\)\(y\)\(y\)ta có \(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}+y+y\ge4\sqrt[4]{\frac{x}{2}.\frac{x}{2}.y.y}\)

                                                                       \(\Leftrightarrow x+2y\ge4\sqrt[4]{\frac{x^2y^2}{4}}\Leftrightarrow8\ge4\sqrt{\frac{xy}{2}}\Leftrightarrow xy\le8\)

vậy GTLN của B=8 dấu = xảy ra khi \(\frac{x}{2}=\frac{x}{2}=y=y\Leftrightarrow x=4,y=2\)