cho 2x^2-3y^2+xy=12 và 6x^2+x^2y=12+6y+xy^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
17 tháng 1 2021
Ta có: \(P=\frac{2x^2+7x+23}{x^2+2x+10}\Leftrightarrow P\left(x^2+2x+10\right)=2x^2+7x+23\)
\(\Leftrightarrow Px^2+2Px+10P-2x^2-7x-23=0\)
\(\Leftrightarrow\left(P-2\right)x^2+\left(2P-7\right)x+\left(10P-23\right)=0\)
\(\Delta=\left(2P-7\right)^2-4\left(P-2\right)\left(10P-23\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4P^2-28P+49-4\left(10P^2-43P+46\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow4P^2-28P+49-40P^2+173P-184\ge0\)
\(\Leftrightarrow-36P^2+145P-135\ge0\)
\(\Rightarrow36P^2-145P+135\ge0\)
\(\Leftrightarrow P^2-\frac{145}{36}P+\frac{27}{29}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(P^2-2\cdot\frac{145}{72}+\frac{21025}{5184}\right)-\frac{469757}{150336}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(P-\frac{145}{72}\right)^2\ge\frac{469757}{150336}\)
\(\Rightarrow-\sqrt{\frac{469757}{150336}}\le P-\frac{145}{72}\le\sqrt{\frac{469757}{150336}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{145}{72}-\sqrt{\frac{469757}{150336}}\le P\le\frac{145}{72}+\sqrt{\frac{469757}{150336}}\)
Vậy \(Min_P=\frac{145}{72}-\sqrt{\frac{469757}{150336}}\) và \(Max_P=\frac{145}{72}+\sqrt{\frac{469757}{150336}}\)
KN
15 tháng 1 2021
Bất đẳng thức cần chứng minh có thể được viết lại thành: \(32\left(a^5+b^5\right)\ge2\left(a+b\right)^5\)
* Xét biểu thức: \(32\left(a^5+b^5\right)-2\left(a+b\right)^5=10\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\left(3a^2+3b^2+2ab\right)\ge0\forall a,b\inℝ\)do \(3a^2+3b^2+2ab=2a^2+2b^2+\left(a+b\right)^2\ge0\forall a,b\inℝ\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1
14 tháng 1 2021
≤ 3/2 thì làm sao mà ≥ 9 được
áp dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức ta có :
\(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)(1)
lại có a + b + c ≤ 3/2
=> ( a + b + c )2 ≤ 9/4
=> \(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge4\)(2)
từ (1) và (2) => \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge4\)
=> \(\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ca}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge4\)
đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1/2
14 tháng 1 2021
áp dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức ta có ngay :
\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{2}\)
đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1/3
vậy ta có đpcm
