Ta có: \(\sqrt{2x^2-4x+5}=\sqrt{2x^2-4x+2+3}=\sqrt{\left(\sqrt{2}x-\sqrt{2}\right)^2+3}\)

Lại có: \(\left(\sqrt{2}x-\sqrt{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{2}x-\sqrt{2}\right)^2+3\ge3\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(\sqrt{2}x-\sqrt{2}\right)^2+3}\ge\sqrt{3}\)

Vậy Min y là \(2+\sqrt{3}\)

\(y=2+\sqrt{2x^2-4x+5}=2+\sqrt{2x^2-4x+2+3}\)

\(=2+\sqrt{2\left(x^2-2x+1\right)+3}=2+\sqrt{2\left(x-1\right)^2+3}\)

Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\)\(\forall x\)

\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2\ge0\)\(\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x-1\right)^2+3\ge3\)\(\forall x\)

\(\Rightarrow\sqrt{2\left(x-1\right)^2+3}\ge\sqrt{3}\)\(\forall x\)

\(\Rightarrow y=2+\sqrt{2\left(x-1\right)^2+3}\ge2+\sqrt{3}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x-1=0\)\(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(miny=2+\sqrt{3}\)\(\Leftrightarrow x=1\)

- Vì vai trò của a , b ,c trong bài này là như nhau nên có thể giả sử \(a\le b\le c\)mà không làm giảm đi tính tổng quát của bài toán . Khi đó ta có :

\(3=a+b+c\le3c\Rightarrow c\ge1\Rightarrow1\le x\le2\)

Ta có : \(a^2+b^2\le\left(a+b\right)^2\)(vì \(a,b\ge0\))

\(\Rightarrow A\le\left(a+b\right)^2+c^2=\left(3-c\right)^2+c^2=2c^2-6c+9\)

          \(\le2.\left(c^2-3c+\frac{9}{4}\right)+\frac{9}{2}=2\left(c-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}\)

Do \(1\le c\le2\)nên \(-\frac{1}{2}\le x-\frac{3}{2}\le\frac{1}{2}\Rightarrow|c-\frac{3}{2}|\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2|x-\frac{3}{2}|^2+\frac{9}{2}\le2.\frac{1}{4}+\frac{9}{2}=5\Rightarrow A\le5\)

Dễ thấy khi a = 0 ; b = 1 ; c = 2 thỏa mãn \(a,b,c\in\left[0;2\right];a+b+c=3\)và \(a\le b\le c\)thì A = 5

Vậy : \(A_{max}=5\)

Do \(a,b,c\in\left[0;2\right]\)nên \(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le0\)\(\Leftrightarrow abc-2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)-8\le0\)\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4+abc\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge a^2+b^2+c^2+abc+4\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5-abc\le5\)(Do \(a,b,c\ge0\))

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số a, b, c có một số bằng 0, một số bằng 1 và một số bằng 2